高一數學《兩角和與差的正切》教學案例
【學習導航】
1. 掌握兩角和與差的正切公式及其推導方法。
2. 透過公式的推導，瞭解它們的內在聯絡，培養邏輯推理能力。
3.能正確運用三角公式，進行簡單的三角函式式的化簡、求值和恆等變形。
教學重點：
學習重點
能根據兩角和與差的正、餘弦公式推匯出兩角和與差的正切公式
學習難點
進行簡單的三角函式式的化簡、求值和恆等變形
【自學評價】
1.兩角和與差的'正、餘弦公式
2.tan(a+b)公式的推導
∵cos (a+b)0
tan(a+b)=
當cosacosb0時, 分子分母同時除以cosacosb得：
以-b代b得：
其中 都不等於
3. 注意：
1°必須在定義域範圍內使用上述公式 tana，tanb，tan(a±b)只要有一個不存在就不能使用這個公式，只能用誘導公式.
2°注意公式的結構，尤其是符號.
4.請大家自行推匯出cot(a±b)的公式—用cota，cotb表示
當sinasinb0時,cot(a+b)=
同理，得：cot(a-b)=
【精典範例】
例1已知tan?= ，tan?=?2 求cot(???)，並求?+?的值，其中0?<?<90?, 90?<?<180? .
【解】
例2 求下列各式的值：
(1)
(2)tan17?+tan28?+tan17?tan28?
(3)tan20°tan30°+tan30°tan40°+tan40°tan20°
【解】
點評：可在△ABC中證明
例3 已知 求證tan?=3tan(?+?).
【證】
例4已知tan?和 是方程 的兩個根，證明：p?q+1=0.
【證】
例5已知tan?= ，tan(??)= (tan?tan?+m),又?,?都是鈍角，求?+?的值.
【解】
思維點拔：
兩角和與差的正弦及餘弦公式, 解題時要多觀察，勤思考，善於聯想，由例及類歸納解題方法，如適當進行角的變換，靈活應用基本公式，特殊角函式的應用等是三角恆等到變換中常用的方法和技能.
【追蹤訓練一】
1.若tanAtanB=tanA+tanB+1，則cos(A+B)的值為( )
2.在△ABC中，若0
△ABC一定是( )
A.等邊三角形 B.直角三角形
C.銳角三角形 D.鈍角三角形
3.在△ABC中，tanA+tanB+tanC=3 ，tan2B=tanAtanC，則∠B等於 .
4. = .
5.已知 .
6.已知
(1)求 ;
(2)求 的值(其中 ).
【選修延伸】
例6已知A、B為銳角，證明 的充要條件是(1+tanA)(1+tanB)=2.
【證】
思維點拔：
可類似地證明以下命題：
(1)若α+β= ，
則(1-tanα)(1-tanβ)=2;
(2)若α+β= ，
則(1+tanα)(1+tanβ)=2;
(3)若α+β= ，
則(1-tanα)(1-tanβ)=2.
【追蹤訓練二】
1.an67°30′-tan22°30′等於( )
A.1 B. C.2 D.4
2.an17°tan43°+tan17°tan30°+tan30°tan43°的值為( B )
A.-1 B.1 C. D.-
3.(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)… (1+tan44°)(1+tan45°)= .
4. =
5.已知3sinβ=sin(2α+β)且tanα=1，則tan(α+β)=
6.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的兩根分別為tanα，tanβ且α，β∈
(- )，求sin2(α+β)+sin(α+β)cos(α+β)+2cos2(α+β)的值.
7.已知函式 的圖象與 軸交點為 ，
求證：
學生質疑
教師釋疑