反比例函式的影象和性質
導語：下面是反比例函式及其影象性質的教材分析，歡迎參考閱讀。
反比例函式及其影象性質
教材分析
(1)知識結構
(2)重點、難點分析
本節的重點是結合圖象，總結出反比例函式的性質.學習了前面三個基本函式後，學生有了一些識圖的能力，並掌握了基本的研究方法.學生在經歷了一個畫圖的過程後，可以透過觀察、分析、與同學的相互討論、交流中，逐步形成對反比例函式的全面認識.可以培養學生運用數形結合的數學思想方法，也是一個數學地發現問題解決問題的過程.本節的另一個重點是用待定係數法求反比例函式的解析式，這種方法在求四種基本函式解析式中都已經用到，本節課透過鞏固練習，可進一步提高對待定係數法的認識.例如學生可以觀察出有幾個待定係數，就需要幾對自變數與函式的對應值，即幾個方程.
本節的難點是描點、畫圖，由於學生知識的限制，描點、畫圖不能對圖形有一個全面的把握.這樣，學生在描點畫圖時就會感到困難，無法估計出這個圖象到底是什麼樣子，感到無從下手.因此，從解析式中可以進行初步的分析，認識到反比例函式的圖象分成兩支，以便初步認識其圖象的大致變化趨勢.
教法建議
數學教育的目的之一是幫助學生認識數學，數學與現實世界有著密切的聯絡，而且數學的發展是一個充滿著觀察、實驗、歸納、類比和猜測的探索過程，因此，學生在獲得知識的同時，也應該養成尊重客觀事實的態度，勇於探索的精神以及獨立思考與人合作交流的習慣.具體安排如下：
(1)從例項中抽象出數學模型
小學學習過反比例關係的知識，現在的物理、化學等學科中也有許多反比比例的例項.學生可以從比較簡單的例項中，抽象出這類函式的特點，形成反比例函式的概念.
(2)畫出圖象，研究反比例函式的性質
可以創設數學情境，引導學生找出數與形的關係.如：k>0時，x與y同號，圖象在一、三象限，k<0時，x、y異號，圖象在二、四象限.類似的結論，可以在畫圖前，先組織學生猜測，並說明根據，畫圖後，再進行補充.讓學生體驗數學知識的形成過程.
(3)牢固掌握待定係數法
進一步熟悉待定係數法解題的一般步驟，並透過不斷地運用，逐漸發現有幾個待定係數，就應列出幾個相應的方程.這樣反比例函式只需一對自變數與函式的對應值就可確定其解析式.
教學目標
1、使學生能從簡單的實際問題中抽象出反比例關係的函式解析式;
2、會畫出反比例函式的圖象，並能結合圖象總結出反比例函式的性質，滲透數形結合的數學思想;.
3、會用待定係數法求反比例函式的解析式;
4、透過揭示正比例函式與反比例函式的.聯絡與轉化，滲透辯證唯物主義的思想;
5、透過觀察、歸納、總結反比例函式的性質，培養學生勇於探索的科學精神;
6、培養學生數學地發現問題，並利用數學知識解決問題的能力.
教學重點：
反比例的概念、影象、性質以及用待定係數法確定反比例函式的解析式.因為要研究反比例函式就必須明確反比例函式的上述問題.
教學難點：
畫反比例函式的影象，因為反比例函式的影象有兩個分支，而且這兩個分支的變化趨勢又不同，學生初次接觸，一定會感到困難.
教學過程：
一、新課引入：
看下面的例項：(出示幻燈)
1.小紅家到學校的路程有5公里，寫出她上學所用的時間t與速度v的函式關係式;
2.有一個矩形面積是3平方米，寫出它的長a與寬b之間的函式關係式;
3.十一放七天假，老師佈置要記憶36個單詞.設小明完成的天數為n，每天的單詞量為m，寫出m 與n 的函式關係式?
答：從函式的觀點看，在運動變化的過程中，這兩個變數可以分別看成自變數與函式，寫成： ( )， ( )， ( )
二、新課講解：
1、讓學生觀察這幾個函式的特點，然後得出反比例函式的概念：(板書)
一般地，函式 (k是常數， )叫做反比例函式.
注意：自變數的指數是 -1，而不是1.
例1、判斷以下哪個式子中的x、y表示反比例函式關係?
⑴ ⑵ ⑶
例2、寫出下列函式的解析式，並判斷他們是不是反比例函式，如果是，求出他們的定義域.
⑴一個圓柱形鋼材的體積是800cm3,寫出它的底面積 和高 的函式關係.⑵壓強大小是由單位面積所受到的壓力決定的，那麼當物體受到的垂直壓力為100牛時，寫出壓強與受力面積的函式關係.
2、根據前面學習特殊函式的經驗，研究完函式的概念，跟著要研究的是什麼?
答：影象和性質.
透過這個問題，使學生對課本上給出的知識的發生、發展過程有一個明確的認識，以後
學生要研究其他函式，也可以按照這種方式來研究.
下面，我們就來看一個例題：(出示幻燈)
例3、在平面直角座標系中畫出反比例函式 與 的影象.
提問：⑴畫函式影象的關鍵問題是什麼?
答：合理、正確地選值列表.
⑵在選值時，你認為要注意什麼問題?
答：Ⅰ、由於函式影象的特點還不清楚，多選幾個點較好;
Ⅱ、不能選 ，因為 時函式無意義;
Ⅲ、選整數較好計算和描點.
這個問題中最核心的一點是關於 的問題，提醒學生注意.
⑶你能不能自己完成這道題呢?
解：列表
x -6 -5 -4 -3 1 2 3 4 5 6
-1 -1.2 -1.5 -2 6 3 2 1.5 1.2 1
1 1.2 1.5 2 -6 -3 -2 -1.5 -1.2 1
說明：由於學生第一次接觸反比例函式，無法推測出它的大致圖象.取點的時候最好多取幾個，正負可以對稱著取分別畫點描圖
學生在練習本上列表、描點、連線，教師在黑板上板演，到連線時可暫停，讓學生先連完線之後，找一名同學上黑板連線，然後就這名同學的連線加以評價、總結.
注意：(1)一般地反比例函式 (k是常數， )的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線;
(2)這兩條曲線不相交;
(3)這兩條曲線無限延伸，無限靠近x軸和y軸，但永不會與x軸和y軸相交.
關於注意(3)可問學生：為什麼影象與x和y軸不相交?
透過這個問題既可加深學生對反比例函式影象的記憶又可培養學生思維的靈活性和深刻性.
3、再讓學生觀察黑板上的雙曲線圖 ，提問、歸納、總結出反比例函式的性質：
(1)當 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限內?在每個象限內，y隨x的增大怎樣變化?
(2)當 時，雙曲線的兩個分支各在哪個象限內?在每個象限內，y隨x的增大怎樣變化?
這兩個問題由學生討論總結之後回答，教師板書：
(1)當 時，雙曲線的兩分支位於一、三象限，y隨x的增大而減少;
從解析式中，也可以得出這個結論：xy=k，即x與y同號，因此，圖象在第一、三象限.
(2)當 時，雙曲線的兩分支位於二、四象限，y隨x的增大而增大.
抓住機會，說明數與形的統一，也滲透了數形結合的數學思想方法.體現了由特殊到一般的研究過程.
注意：同樣可以推出函式 的圖象的性質.
4、反比例函式的這一性質與正比例函式的性質有何異同?
透過這個問題使學生能把學過的相關知識有機地串聯起來，便於記憶和應用.
5、反比例函式的簡單練習：
上面，我們討論了反比例函式的概念、影象和性質，下面我們再來看一個不同型別的例題：
例4、選擇題：
1、在同一座標系內，函式 與 的圖象的交點個數為( ).
(A) 0個 (B) 1個 (C) 2個 (D)4個
2、若反比例函式 的圖象在它所在的象限內，y隨x的增大而增大，則m的值是( )
(A)-2. (B)2. (C)±2. (D)以上結果都不對.
三、課堂小結：教師提問，學生思考回答：
1.什麼是反比例函式?
2.反比例函式的影象是什麼樣的?
3.反比例函式 的性質是什麼?
4.命題方向及題型設定，反比例函式也是中考命題的主要考點，其影象和性質，以及其函式解析式的確定，常以填空題、選擇題出現，在低檔題中，近兩年各省、市的中考試卷中出現不少將反比例函式與一次函式、幾何知識、三角知識等綜合編擬的解答題，豐富了壓軸題的形式和內容.
四、佈置作業P80 練習1，2
五、板書設計
反比例函式及其影象
引例：(1)例1：例2：例3：
例4：
1.反比例函式的圖象：
2.反比例函式的性質
六、補充材料：
馬爾克廣場上的遊戲
在世界著名的水都威尼司斯，有個馬爾克廣場.廣場的一端有一座寬82米的雄偉教堂.教堂的前面是一方開闊地.這片開闊地經常吸引著四方遊人到這裡做一種奇特的遊戲：把眼睛蒙上，然後從廣場的一端向另一端教堂走去，看誰能到達教堂的正前面!
奇怪的是，儘管這段距離只有175米，但卻沒有一名遊客能幸運地做到這一點!全都如下圖那般，走成了弧線，或左或右，偏斜到了一邊!
類似的情形也有很多，這與俗話說的鬼打牆類似.有許多人在沙漠或雪地裡，由於迷失方向而在原地打圈子，這一切近乎玩笑般的遭遇，終於引起了科學家的注意.
公元1896年，挪威生理學家古德貝對閉眼打轉的問題進行深入的探討.他蒐集了大量的事例後分析說：這一切都是由於人自身兩條腿在作怪!長年累月養成的習慣，使每個人一隻腳伸出的步子長一段微不足道的距離.而正是這一段很小的步差x，導致了這個人走出一個半徑為y的大圈子!
現在我們將這個過程數學化，研究一下x與y之間的函式關係.
假定某個兩腳踏線間相隔為d.很顯然，當人在打圈子時，兩隻腳實際上走出了兩個半徑相差為d的同心圓.設該人平均步長為1.那麼，一方面這個人外腳比內腳多走路程
另一方面，這段路程又等於這個人走一圈的步數與步差的乘積，
即：
對一般的人， 米， 米，代入得(單位米)
這就是所求的迷路人打圈子的半徑公式.是我們學過的反比例函式(圖象如下圖).今設迷路人兩腳步差為 毫米，僅此微小的差異，就足以使他在大約三公里的範圍內繞圈子!
讓我們回到那個馬克爾廣場的遊戲上來.我們先計算一下，當人們閉起眼睛，從廣場一端中央的M點，要想抵達教堂CD，最小的弧線半徑應該是多少?
如圖，注意到矩形ABCD邊BC=175(米)， (米).上述問題可以轉化成幾何中的命題：已知 與 .求 的半徑 的大小.
這就說,遊人要想成功,他所走弧線半徑必須不小於394米.我們再來計算一下，要達到上述要求，遊人的兩腳步差需要什麼限制.
這表明遊人的兩隻腳步差必須小於 毫米，否則就難以成功.然而在閉眼的情況下兩腳這麼小的步差一般人是達不到的，這就是在遊戲中為什麼沒有人能夠蒙上眼睛走到教堂前面的道理。