一元二次方程教案

科 目

數學

年級

九年級

教學時間

一課時

學習者分析

本班有學生53人，數學課還比較喜歡，學習熱情也較高，課堂氣氛比較活躍。學生在學過一元一次方程的基礎上學習，還是對方程有一定的認識。所以老師放手讓學生自學、合作的探究方式來學習此課。但有極少部分學生較懶，學習習慣差，不願思考問題。總體來說學生喜歡動手操作，喜歡小組合作的學習方式。

教學目標

一、情感態度與價值觀

1.透過生活學習數學，並用數學解決生活中的問題來激發學生的學習熱情。

2.感受數學的嚴謹性以及數學結論的確定性。

二、過程與方法

1.透過觀察，歸納一元二次方程概念的教學

2.使學生理解並能夠掌握一元二次方程的一般表示式以及各種特殊形式。

三、知識與技能

1.透過設定問題，建立數學模型，模仿一元一次方程的概念給一元二次方程下定義。

2.一元二次方程的一般形式及其有關概念

教學重點、難點

1.一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程有關概念解決問題。

2.透過提出問題，建立一元二次方程的數學模型，再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念。

教學資源

⑴每位學生製作一個無蓋方盒

⑵每人一份印刷練習題

⑶教師自制的多媒體課件

⑷上課環境為多媒體大螢幕環境

           教學活動

教學活動1

㈠師生互動，激趣匯入

情境創設（大螢幕投影教材24頁）：要設計一座2米高的人體雕塑，使雕塑的上部（腰上部）與下部（腰下部）的高度比，等於下部與全部（全身）的高度比，雕塑的下部應設計為多高？

學生根據等量關係：設雕塑下部高xm,於是得方程

X²=2(2－x)整理得X²+2x－4=0，這是什麼方程，與以前學過的一元一次方程有什麼不同，這節課我們就來學習它---------一元二次方程

教學活動2

㈡問題啟發，合作探究

1．問題1（多媒體課件）有一塊長方形鐵皮，長100cm，寬50cm,在它的四角各切去一個同樣的正方形，然後將四周突出部分折起，就能製作一個無蓋方盒。如果要製作的無蓋方盒的底面積為3600cm²,那麼鐵皮各角應切去多大的正方形？

學生結合手中學具思考怎麼列方程

如果假設切去的正方形邊長為x，那麼盒底的長是________，寬是_____，根據方盒的底面積為3600cm²，得：_______．

    整理，得：________．

    老師點評並分析如何建立一元二次方程的數學模型，並整理．

2．（出示排球邀請賽圖片）

問題2要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場。根據場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應邀請多少個隊參賽？

單迴圈比賽是指就表示每個隊要和其他所有的隊都賽到了，如果有4個隊總共賽_______場，5個隊呢？8個隊呢？n個隊呢？

同學們用基本線段法和定點發射法總結規律：

場數=隊數×（隊數-1）÷2

場數=（隊數-1）+（隊數-2）+（隊數-3）+。。。。。。+1

列方程得x(x－1)÷2=28 整理得X²－x=56解方程可以得出參賽隊數。

3．學生活動，敘述概念

請口答下面問題．

    （1）上面三個方程整理後含有幾個未知數？

    （2）按照整式中的多項式的規定，它們最高次數是幾次？

    （3）有等號嗎？或與以前多項式一樣只有式子？

老師點評：（1）都只含一個未知數x；（2）它們的最高次數都是2次的；（3）都有等號，是方程．

    因此，像這樣的方程兩邊都是整式，只含有一個未知數（一元），並且未知數的最高次數是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

    一般地，任何一個關於x的一元二次方程，經過整理，都能化成如下形式ax²+bx+c=0（a≠0）．這種形式叫做一元二次方程的一般形式．

    一個一元二次方程經過整理化成ax²+bx+c=0（a≠0）後，其中ax²是二次項，a是二次項係數；bx是一次項，b是一次項係數；c是常數項．

4．追問條件，由一般式得出特殊式

（1）為什麼a≠0？b和c能等於0嗎？（2）特殊式：ax²+bx=0,ax²+c=0

教學活動3

㈢例題示範，鞏固提高

例1．將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，並寫出其中的二次項係數、一次項係數及常數項．

分析：一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）（5-2x）=18必須運用整式運算進行整理，包括去括號、移項、合併同類項等．

    解：去括號，得：

    40-16x-10x+4x²=18

    移項，得：4x²-26x+22=0

    其中二次項係數為4，一次項係數為-26，常數項為22．

例2．（學生活動：請二至三位同學上臺演練）  將方程（x+1）²+（x-2）（x+2）=1化成一元二次方程的一般形式，並寫出其中的`二次項、二次項係數；一次項、一次項係數；常數項．

鞏固練習

    教材P₂₇ 練習1、2（每組出三名同學在四周黑板寫出，分六組）

教學活動4

㈣自我檢查，資訊反饋

自我測試設計

   一、選擇題（5×4=20分）

   1．在下列方程中，一元二次方程的個數是（  ）．

   ①3x²+7=0  ②ax²+bx+c=0  ③（x-2）（x+5）=x²-1   ④3x²- =0

    A．1個    B．2個    C．3個    D．4個

   2．方程2x²=3（x-6）化為一般形式後二次項係數、一次項係數和常數項分別為（ ）．

    A．2，3，-6    B．2，-3，18    C．2，-3，6     D．2，3，6

  3．px²-3x+p²-q=0是關於x的一元二次方程，則（  ）．

      A．p=1     B．p>0     C．p≠0     D．p為任意實數

4．關於x的方程（m²-4）x²+mx-m=0是一元二次方程的條件是（）

A．m≠0    B．m≠2   C．m= -2 D．m≠±2

  二、填空題（4×5=20分）

1．方程3x²-3=2x+1的二次項係數為________，一次項係數為_________，常數項為_________．

2．關於x的方程（a-1）x²+3x=0是一元二次方程，則a的取值範圍是_________

  3．關於x的方程（m+1）x^m-1+mx-1=0是一元一次方程，則m=________

三．應用題（20分）

《九章算術》“勾股”章有一題：“今有戶高多於廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何？”

    大意是說：已知長方形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那麼門的高和寬各是多少？

    如果假設門的高為x尺，那麼，這個門的寬為_______尺，根據題意，得________．

    整理、化簡，得：__________．

程式 ：1.學生自己獨立完成2.老師給組長副組長打分3.組長給組員打分4．學生交流疑難雜症5.學生總結易錯點和方法6.老師作最後強調。

教學活動5

㈤歸納總結，暢談收穫

本節課要掌握：

（1）       一元二次方程的概念；

（2）       一元二次方程的一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）和二次項、二次項係數，一次項、一次項係數，常數項的概念及其它們的運用．

（3）       定義要條件化：二次項係數不等於0的條件

（4）       利用一元二次方程解決實際生活問題。

教學活動6

㈥拓展遷移，提升能力

例3．求證：關於x的方程（m²-8m+17）x²+2mx+1=0，不論m取何值，該方程都是一元二次方程．

    分析：要證明不論m取何值，該方程都是一元二次方程，只要證明m²-8m+17≠0即可．

    證明：m²-8m+17=（m-4）²+1

    ∵（m-4）²≥0

    ∴（m-4）²+1>0，即（m-4）²+1≠0

    ∴不論m取何值，該方程都是一元二次方程．