雙曲線方程的知識點總結
雙曲線方程
1. 雙曲線的第一定義：
⑴①雙曲線標準方程：
. 一般方程：
⑵①i. 焦點在x軸上：
頂點：
焦點：
準線方程
漸近線方程：
或
ii. 焦點在
軸上：頂點：
. 焦點：
. 準線方程：
. 漸近線方程：
或
，引數方程：
或
②軸
為對稱軸，實軸長為2a, 虛軸長為2b，焦距2c. ③離心率
. ④準線距
(兩準線的距離);通徑
. ⑤引數關係
. ⑥焦點半徑公式：對於雙曲線方程
分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點)
“長加短減”原則：
構成滿足
(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不帶符號)
⑶等軸雙曲線：雙曲線
稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為
，離心率
⑷共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線.
與
互為共軛雙曲線，它們具有共同的'漸近線：
⑸共漸近線的雙曲線系方程：
的漸近線方程為
如果雙曲線的漸近線為
時，它的雙曲線方程可設為
例如：若雙曲線一條漸近線為
且過
，求雙曲線的方程?
解：令雙曲線的方程為：
，代入
得
⑹直線與雙曲線的位置關係：
區域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計2條;
區域②：即定點在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計3條;
區域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計4條;
區域④：即定點在漸近線上且非原點，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計2條;
區域⑤：即過原點，無切線，無與漸近線平行的直線.
小結：過定點作直線與雙曲線有且僅有一個交點，可以作出的直線數目可能有0、2、3、4條.
(2)若直線與雙曲線一支有交點，交點為二個時，求確定直線的斜率可用代入
法與漸近線求交和兩根之和與兩根之積同號.
⑺若P在雙曲線
，則常用結論1：P到焦點的距離為m = n，則P到兩準線的距離比為m?n.
簡證：
常用結論2：從雙曲線一個焦點到另一條漸近線的距離等於b.