數學必修五《等比數列的前n項和》知識點總結
一個推導
利用錯位相減法推導等比數列的前n項和:
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,
同乘q得:qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn,
兩式相減得(1-q)Sn=a1-a1qn,∴Sn=(q≠1).
兩個防範
(1)由an+1=qan,q≠0並不能立即斷言{an}為等比數列,還要驗證a1≠0.
(2)在運用等比數列的前n項和公式時,必須注意對q=1與q≠1分類討論,防止因忽略q=1這一特殊情形導致解題失誤.
三種方法
等比數列的判斷方法有:
(1)定義法:若an+1/an=q(q為非零常數)或an/an-1=q(q為非零常數且n≥2且n∈N*),則{an}是等比數列.
(2)中項公式法:在數列{an}中,an≠0且a=an·an+2(n∈N*),則數列{an}是等比數列.
(3)通項公式法:若數列通項公式可寫成an=c·qn(c,q均是不為0的常數,n∈N*),則{an}是等比數列.
注:前兩種方法也可用來證明一個數列為等比數列.