《函式的基本性質》知識點總結
基礎知識:
1.奇偶性
(1)定義:如果對於函式f(x)定義域內的任意x都有f(-x)=-f(x),則稱f(x)為奇函式;如果對於函式f(x)定義域內的任意x都有f(-x)=f(x),則稱f(x)為偶函式。如果函式f(x)不具有上述性質,則f(x)不具有奇偶性.如果函式同時具有上述兩條性質,則f(x)既是奇函式,又是偶函式。
注意:
①函式是奇函式或是偶函式稱為函式的奇偶性,函式的奇偶性是函式的整體性質;
②由函式的奇偶性定義可知,函式具有奇偶性的一個必要條件是,對於定義域內的任意一個x,則-x也一定是定義域內的一個自變數(即定義域關於原點對稱)。
(2)利用定義判斷函式奇偶性的格式步驟:
①首先確定函式的定義域,並判斷其定義域是否關於原點對稱;
②確定f(-x)與f(x)的關係;
③作出相應結論:
若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,則f(x)是偶函式;
若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,則f(x)是奇函式。
(3)簡單性質:
①圖象的對稱性質:一個函式是奇函式的充要條件是它的圖象關於原點成中心對稱;一個函式是偶函式的充要條件是它的圖象關於y軸成軸對稱;
②設f(x),g(x)的定義域分別是D1,D2,那麼在它們的公共定義域上:
奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇
2.單調性
(1)定義:一般地,設函式y=f(x)的定義域為I, 如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變數x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)f(x2)),那麼就說f(x)在區間D上是增函式(減函式);
注意:
①函式的單調性是在定義域內的某個區間上的性質,是函式的區域性性質;
②必須是對於區間D內的任意兩個自變數x1,x2;當x1<x2時,總有f(x1)<f(x2)。
(2)如果函式y=f(x)在某個區間上是增函式或是減函式,那麼就說函式y=f(x)在這一區間具有(嚴格的)單調性,區間D叫做y=f(x)的單調區間。
(3)設複合函式y= f[g(x)],其中u=g(x) , A是y= f[g(x)]定義域的某個區間,B是對映g : x→u=g(x) 的象集:
①若u=g(x) 在 A上是增
(或減)函式,y= f(u)在B上也是增(或減)函式,則函式y= f[g(x)]
在A上是增函式;
②若u=g(x)在A上是增(或減)函式,而y= f(u)在B上是減(或增)函式,則函式y= f[g(x)]在A上是減函式。
(4)判斷函式單調性的方法步驟
利用定義證明函式f(x)在給定的區間D上的單調性的一般步驟:
①任取x1,x2∈D,且x1<x2;②作差f(x1)-f(x2);③變形(通常是因式分解和配方); ④定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);⑤下結論(即指出函式f(x)在給定的區間D上的單調性)。
(5)簡單性質
①奇函式在其對稱區間上的單調性相同;
②偶函式在其對稱區間上的單調性相反;
③在公共定義域內:
增函式f(x)增函式g(x)是增函式;減函式f(x)減函式g(x)是減函式; 增函式f(x)減函式g(x)是增函式;減函式f(x)增函式g(x)是減函式。
④若函式yf(x)是偶函式,則f(xa)f(xa);若函式yf(xa)是偶函式,則f(xa)f(xa).
3.函式的週期性
如果函式y=f(x)對於定義域內任意的x,存在一個不等於0的常數T,使得f(x+T)=f(x)恆成立,則稱函式f(x)是週期函式,T是它的一個週期.
性質:
①如果T是函式f(x)的週期,則kT(k∈N+)也是f(x)的週期.
②若週期函式f(x)的週期為T,則f(x)(0)是週期函式,且週期為T||。
③若f(x)f(xa),則函式yf(x)的圖象關於點(,0)對稱; 若a2f(x)f(xa),則函式yf(x)為週期為2a的週期函式.
例題: 1.y1x2的遞減區間是 ;ylog1(x3x2)的單調遞增區間是 。 1x22.函式f(x)lg(21)的圖象( ) 1xA.關於x軸對稱B. 關於y軸對稱C. 關於原點對稱 D. 關於直線yx對稱
3.設f(x)是定義在R上的奇函式,若當x0時,f(x)log3(1x),則f(2)。
4.定義在R上的偶函式f(x)滿足f(x2)f(x2),若f(x)在[2,0]上遞增,則( )
A.f(1)f(5.5)B.f(1)f(5.5)C.f(1)f(5.5)D.以上都不對
5.討論函式f(x)x1的單調性。
6.已知奇函式f(x)是定義在(2,2)上的減函式,若f(m1)f(2m1)0,求實數m 的取值範圍。
7.已知函式f(x)的`定義域為N,且對任意正整數x,都有f(x)f(x1)f(x1)。若f(0)2004,求f(2004)。
習題:
題型一:判斷函式的奇偶性
1.以下函式:(1)y1(x0);(2)yx1;(3)y2;(4)ylog2x;(5)x4xx2;其中奇函式是 ,偶函式是 ,ylog2(xx1),(6)f(x)x222非奇非偶函式是。
2.已知函式f(x)=xx,那麼f(x)是( )
A.奇函式而非偶函式 B. 偶函式而非奇函式
C.既是奇函式又是偶函式 D.既非奇函式也非偶函式
題型二:奇偶性的應用
1.已知偶函式f(x)和奇函式g(x)的定義域都是(-4,4),它們在4,0上的影象分別如 圖(2-3)所示,則關於x的不等式f(x)g(x)0的解集是_____________________。
圖(2-3)
2.已知f(x)ax7bx5cx3dx5,其中a,b,c,d為常數,若f(7)7,則f(7)____
3.下列函式既是奇函式,又在區間1,1上單調遞減的是()
A.f(x)sinx B.f(x)xC.f(x)1x2xaaxD.f(x)ln 22x
4.已知函式yf(x)在R是奇函式,且當x0時,f(x)x22x,則x0時,f(x)的 解析式為 。
5.若fx是偶函式,且當x0,時, fxx1,則fx10的解集是( )
A.x1x0 B. xx0或1x2 C. x0x2 D. x1x2 題型三:判斷證明函式的單調性
1.判斷並證明f(x)
22在(0,)上的單調性 x12.判斷f(x)2x2x1在(,0)上的單調性
題型四:函式的單調區間
1.求函式ylog0.7(x23x2)的單調區間。
2.下列函式中,在(,0)上為增函式的是( )
A.yx24x8 B.yax3(a0) C.y2 D.ylog1(x) x12
3.函式f(x)x
A.0,1的一個單調遞增區間是( ) xB.,0C.0,1D.1,
4.下列函式中,在(0,2)上為增函式的是( )A.y=-3x+1 B.y=|x+2| C.y=
5.函式y=54xx2的遞增區間是( )
A.(-∞,-2)B.[-5,-2] C.[-2,1]D.[1,+∞)
題型五:單調性的應用
1.函式f(x)=x+2(a-1)x+2在區間(-∞,4)上是減函式,那麼實數a的取值範圍是( )
A.[3,+∞ ) B.(-∞,-3] C.{-3}D.(-∞,5]
2.已知函式f(x)=2x-mx+3,當x∈(-2,+∞)時是增函式,當x∈(-∞,-2)時是減函式,則f(1)等於( )
A.-3B.13C.7 D.由m而決定的常數. 2242 D.y=x-4x+3 x
3.若函式f(x)x3ax2bx7在R上單調遞增,則實數a, b一定滿足的條件是( )
A.a3b0B.a3b0 22C.a3b0 2D.a3b1 2
4.函式f(x)3ax2b2a,x[1,1],若f(x)1恆成立,則b的最小值為 。
5.已知偶函式f(x)在(0,+∞)上為增函式,且f(2)=0,解不等式f[log2(x2+5x+4)]≥0。 題型六:週期問題
1.奇函式f(x)以3為最小正週期,f(1)3,則f(47)為( )
A.3B.6C.-3 D.-6
2.設f(x)是定義在R上以6為週期的函式,f(x)在(0,3)內單調遞增,且y=f(x)的圖象關於直線x =3對稱,則下面正確的結論是()
A.f(1.5)<f(3.5)<f(6.5) B.f(3.5)<f(1.5)<f(6.5)
C.f(6.5)<f(3.5)<f(1.5) D.f(3.5)<f(6.5)<f(1.5)
x3.已知fx為偶函式,且f2xf2x,當2x0時,fx2,則f2006
( )
A.2006 B.4C.4 D. 1 4
4.設f(x)是(,)上的奇函式,f(x2)f(x),當0x1時,f(x)x,則f(47.5)等於_____
5.已知函式f(x)對任意實數x,都有f(x+m)=-f(x),求證:2m是f(x)的一個週期.
6、已知函式f(x)對任意實數x,都有f(m+x)=f(m-x),且f(x)是偶函式,
求證:2m是f(x)的一個週期.
7、函式f(x)是定義在R上的奇函式,且f(-1)=3,對任意的x∈R,均有f(x+4)=f(x)+f⑵,求f(2001)的值.