冪函式的性質知識點總結

冪函式的性質知識點總結

冪函式的性質知識點總結

形如y=x^a(a為常數)的函式，即以底數為自變數 冪為因變數，指數為常量的函式稱為冪函式。

定義域和值域:

當a為不同的數值時，冪函式的定義域的不同情況如下： 如果a為任意實數，則函式的定義域為大於0的所有實數; 如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函式的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函式的定義域為大於0的所有實數;如果同時q為奇數，則函式的定義域為不等於0 的所有實數。 當x為不同的數值時，冪函式的值域的不同情況如下： 在x大於0時，函式的值域總是大於0的實數。 在x小於0時，則只有同時q為奇數，函式的值域為非零的實數。 而只有a為正數，0才進入函式的'值域

性質:

對於a的取值為非零有理數，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數，則x^(p/q)=q次根號(x的p次方)，如果q是奇數，函式的定義域是R，如果q是偶數，函式的定義域是[0,+)。當指數n是負整數時，設a=-k，則x=1/(x^k)，顯然x0，函式的定義域是(-，0)(0,+).因此可以看到x所受到的限制來源於兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數，那麼我們就可以知道：

排除了為0與負數兩種可能，即對於x0，則a可以是任意實數;

排除了為0這種可能，即對於x0和x0的所有實數，q不能是偶數;

排除了為負數這種可能，即對於x為大於且等於0的所有實數，a就不能是負數。

總結起來，就可以得到當a為不同的數值時，冪函式的定義域的不同情況如下：

如果a為任意實數，則函式的定義域為大於0的所有實數;

如果a為負數，則x肯定不能為0，不過這時函式的定義域還必須根據q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數，則x不能小於0，這時函式的定義域為大於0的所有實數;如果同時q為奇數，則函式的定義域為不等於0 的所有實數。

在x大於0時，函式的值域總是大於0的實數。

在x小於0時，則只有同時q為奇數，函式的值域為非零的實數。

而只有a為正數，0才進入函式的值域。

由於x大於0是對a的任意取值都有意義的，因此下面給出冪函式在第一象限的各自情況.

可以看到：

(1)所有的圖形都透過(1，1)這點。

(2)當a大於0時，冪函式為單調遞增的，而a小於0時，冪函式為單調遞減函式。

(3)當a大於1時，冪函式圖形下凹;當a小於1大於0時，冪函式圖形上凸。

(4)當a小於0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

(5)a大於0，函式過(0，0);a小於0，函式不過(0，0)點。

(6)顯然冪函式無界。