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冪函式的性質知識點總結

冪函式的性質知識點總結

冪函式的性質知識點總結

形如y=x^a(a為常數)的函式,即以底數為自變數 冪為因變數,指數為常量的函式稱為冪函式。

定義域和值域:

當a為不同的數值時,冪函式的定義域的不同情況如下: 如果a為任意實數,則函式的定義域為大於0的所有實數; 如果a為負數,則x肯定不能為0,不過這時函式的定義域還必須根[據q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數,則x不能小於0,這時函式的定義域為大於0的所有實數;如果同時q為奇數,則函式的定義域為不等於0 的所有實數。 當x為不同的數值時,冪函式的值域的不同情況如下: 在x大於0時,函式的值域總是大於0的實數。 在x小於0時,則只有同時q為奇數,函式的值域為非零的實數。 而只有a為正數,0才進入函式的'值域

性質:

對於a的取值為非零有理數,有必要分成幾種情況來討論各自的特性:

首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數,則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數,函式的定義域是R,如果q是偶數,函式的定義域是[0,+)。當指數n是負整數時,設a=-k,則x=1/(x^k),顯然x0,函式的定義域是(-,0)(0,+).因此可以看到x所受到的限制來源於兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數,那麼我們就可以知道:

排除了為0與負數兩種可能,即對於x0,則a可以是任意實數;

排除了為0這種可能,即對於x0和x0的所有實數,q不能是偶數;

排除了為負數這種可能,即對於x為大於且等於0的所有實數,a就不能是負數。

總結起來,就可以得到當a為不同的數值時,冪函式的定義域的不同情況如下:

如果a為任意實數,則函式的定義域為大於0的所有實數;

如果a為負數,則x肯定不能為0,不過這時函式的定義域還必須根據q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數,則x不能小於0,這時函式的定義域為大於0的所有實數;如果同時q為奇數,則函式的定義域為不等於0 的所有實數。

在x大於0時,函式的值域總是大於0的實數。

在x小於0時,則只有同時q為奇數,函式的值域為非零的實數。

而只有a為正數,0才進入函式的值域。

由於x大於0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函式在第一象限的各自情況.

可以看到:

(1)所有的圖形都透過(1,1)這點。

(2)當a大於0時,冪函式為單調遞增的,而a小於0時,冪函式為單調遞減函式。

(3)當a大於1時,冪函式圖形下凹;當a小於1大於0時,冪函式圖形上凸。

(4)當a小於0時,a越小,圖形傾斜程度越大。

(5)a大於0,函式過(0,0);a小於0,函式不過(0,0)點。

(6)顯然冪函式無界。