數學《平方差公式》導學案課件
●教學目標
(一)教學知識點
1.經歷探索平方差公式的過程.
2.會推導平方差公式，並能運用公式進行簡單的運算.
(二)能力訓練要求
1.在探索平方差公式的過程中，發展學生的符號感和推理能力.
2.培養學生觀察、歸納、概括等能力.
(三)情感與價值觀要求
在計算的過程中發現規律，並能用符號表達，從而體會數學語言的簡捷美.
●教學重點
平方差公式的推導和應用.
●教學難點
用平方差公式的結構特徵判斷題目能否使用公式.
●教學方法
探究與講練相結合.
使學生在計算的過程中發現規律，並運用自己的語言進行表達，用符號證明這個規律，並探索出平方差公式的結構特點，在老師的講解和學生的練習中學會應用.
●教學過程
Ⅰ.創設情景，引入新課
［師］你能用簡便方法計算下列各題嗎？
(1)2001×1999；(2)992－1
［生］可以.在(1)中2001×1999=(2000+1)(2000－1)=20002－2000+2000－1×1=20002－12=4000000－1=3999999,在(2)中992－1=(100－1)2－1=(100－1)(100－1)－1=1002－100－100+1－1=10000－200=9800.
［師］很好！我們利用多項式與多項式相乘的法則，將(1)(2)中的2001，1999，99化成為整千整百的運算，從而使運算很簡便.我們不妨觀察第(1)題，2001和1999，一個比2000大1，於是可寫成2000與1的和，一個比2000小1，於是可寫成2000與1的差，所以2001×1999就是2000與1這兩個數的和與差的積，即(2000+1)(2000－1)；再觀察利用多項式與多項式相乘的法則算出來的結果為：20002－12，恰為這兩個數2000與1的平方差.即
(2000+1)(2000－1)=20002－12.
那麼其他滿足這個特點的運算是否也有類似的結果呢？
我們不妨看下面的做一做.
Ⅱ.使學生在計算的過程中，透過觀察、歸納發現規律，並用自己的語言和符號表示其規律
［師］出示投影片(§1.7.1 A)
做一做：計算下列各題：
(1)(x+2)(x－2);
(2)(1+3a)(1－3a);
(3)(x+5y)(x－5y);
(4)(y+3z)(y－3z).
觀察以上算式，你發現什麼規律？運算出結果，你又發現什麼規律？再舉兩例驗證你的發現？
［生］上面四個算式都是多項式與多項式的乘法.
［生］上面四個算式每個因式都是兩項.
［生］除上面兩個同學說的以外，更重要的是：它們都是兩個數的和與差的積.例如：算式(1)是“x”與“2”這兩個數的和與差的積；算式(2)是“1”與“3a”這兩個數的和與差的積；算式(3)是“x”與“5y”的和與差的積；算式(4)是“y”與“3z”這兩個數的和與差的積.
［師］我們觀察出了算式的結構特點.像這樣的多項式與多項式相乘，它們的'結果如何呢？只要你肯動筆、動腦，相信你一定會探尋到答案.
［生］解：(1)(x+2)(x－2)
=x2－2x+2x－4=x2－4；
(2)(1+3a)(1－3a)
=1－3a+3a－9a2=1－9a2；
(3)(x+5y)(x－5y)
=x2－5xy+5xy－25y2
=x2－25y2；
(4)(y+3z)(y－3z)
=y2－3yz+3zy－9z2
=y2－9z2
(如有必要的話可以讓學生利用乘法分配律將多項式與多項式相乘轉化成單項式與多項式相乘，進一步體會乘法分配律的重要作用以及轉化的思想)
［生］從剛才這位同學的運算，我發現：
即兩個數的和與差的積等於這兩個數的平方差.這和我們前面的一個簡便運算得出同樣的結果.
即
［師］你還能舉兩個例子驗證你的發現嗎？
［生］可以.例如：
(1)101×99=(100+1)(100－1)=1002－100+100－12=1002－12=10000－1=9999；
(2)(－x+y)(－x－y)=(－x)(－x)+xy－xy－y2=(－x)2－y2=x2－y2.
即
上面兩個例子，同樣可以驗證：兩個數的和與差的積，等於它們的平方差.
［師］為什麼會有這樣的特點呢？
［生］因為利用多項式與多項式相乘的運演算法則展開後，中間兩項是同類項且係數互為相反數，所以相加後為零.只剩下這個數的平方差.
［師］很好！你能用一般形式表示上述規律，並對規律進行證明嗎？
［生］可以.上述規律用符號表示為：
(a+b)(a－b)=a2－b2 ①
其中a,b可以表示任意的數，也可以表示代表數的單項式、多項式.
利用多項式與多項式相乘的運演算法則可以對規律進行證明，即
(a+b)(a－b)=a2－ab+ab－b2=a2－b2
［師］同學們確實不簡單用符號表示和證明我們發現的規律簡捷明快.
你能給我們發現的規律(a+b)(a－b)=a2－b2起一個名字嗎？能形象直觀地反映出此規律的.
［生］我們可以把(a+b)(a－b)=a2－b2叫做平方差公式.
［師］大家同意嗎？
［生］同意.
［師］好了！這節課我們主要就是學習討論這個公式的.你能用語言描述這個公式嗎？
［生］可以.這個公式表示兩數和與差的積，等於它們的平方差.
［師］平方差公式是多項式乘法運算中一個重要的公式.用它直接運算會很簡單，但要注意必須符合公式的結構特點才能利用它進行運算.
Ⅲ.體會平方差公式的應用，感受平方差公式給多項式乘法運算帶來的方便，進一步熟悉平方差公式.
［例1］(1)下列多項式乘法中，能用平方差公式計算的是( )
A.(x+1)(1+x) B.( a+b)(b－ a)
C.(－a+b)(a－b) D.(x2－y)(x+y2)
E.(－a－b)(a－b) F.(c2－d2)(d2+c2)
(2)利用平方差公式計算：
(5+6x)(5－6x);(x－2y)(x+2y);
(－m+n)(－m－n).
［生］(1)中只有B、E、F能用平方差公式.因為B.( a+b)(b－ a)利用加法交換律可得( a+b)(b－ a)=(b+ a)(b－ a),表示b與 a這兩個數的和與差的積，符合平方差公式的特點；E.(－a－b)(a－b),同樣可利用加法交換律得(－a－b)(a－b)=(－b－a)(－b+a),表示－b與a這兩個數和與差的積，也符合平方差公式的特點；F.(c2－d2)(d2+c2)利用加法和乘法交換律得(c2－d2)(d2+c2)=(c2+d2)(c2－d2)，表示c2與d2這兩個數和與差的積，同樣符合平方差公式的特點.
［師］為什麼A、C、D不能用平方差公式呢？
［生］A、C、D表示的不是兩個數的和與差的積的形式.
［師］下面我們就來做第(2)題，首先分析它們分別是哪兩個數和與差的積的形式.
［生］(5+6x)(5－6x)是5與6x這兩個數的和與差的形式；(x－2y)(x+2y)是x與2y這兩個數的和與差的形式；(－m+n)(－m－n)是－m與n這兩個數的和與差的形式.
［師］很好！下面我們就來用平方差公式計算上面各式.
［生］(5+6x)(5－6x)=52－(6x)2=25－36x2;
(x－2y)(x+2y)=x2－(2y)2=x2－4y2;
(－m+n)(－m－n)=(－m)2－n2=m2－n2.
［師］這位同學的思路非常清楚.下面我們再來看一個例題.
出示投影片(記作§1.7.1 C)
［例2］利用平方差公式計算：
(1)(－ x－y)(－ x+y);
(2)(ab+8)(ab－8);
(3)(m+n)(m－n)+3n2.
［師］同學們可先交流、討論，然後各小組派一代表到黑板上演示.然後再派一位同學講評.
［生］解：(1)(－ x－y)(－ x+y)——(－ x)與y的和與差的積
=(－ x)2－y2——利用平方差公式得(－ x)與y的平方差
= x2－y2——運算至最後結果
(2)(ab+8)(ab－8)——ab與8的和與差的積
=(ab)2－82——利用平方差公式得ab與8的平方差
=a2b2－64——運算至最後結果
(3)(m+n)(m－n)+3n2——據運算順序先計算m與n的和與差的積
=(m2－n2)+3n2——利用平方差公式
=m2－n2+3n2——去括號
=m2+2n2——合併同類項至最簡結果
［生］剛才這位同學的運算有條有理，有根有據，我覺得利用平方差公式計算必須注意以下幾點：
(1)公式中的字母a、b可以表示數，也可以是表示數的單項式、多項式即整式.
(2)要符合公式的結構特徵才能運用平方差公式.
(3)有些多項式與多項式的乘法表面上不能應用公式，但透過加法或乘法的交換律、結合律適當變形實質上能應用公式.
［生］還需注意最後的結果必須最簡.
［師］同學們總結的很好！下面我們再來練習一組題.
1.計算：
(1)(a+2)(a－2);
(2)(3a+2b)(3a－2b);
(3)(－x+1)(－x－1);
(4)(－4k+3)(－4k－3).
2.把下圖左框裡的整式分別乘(a+b),所得的積寫在右框相應的位置上.
解：1.(1)(a+2)(a－2)=a2－22=a2－4;
(2)(3a+2b)(3a－2b)=(3a)2－(2b)2=9a2－4b2;
(3)(－x+1)(－x－1)=(－x)2－12=x2－1;
(4)(－4k+3)(－4k－3)=(－4k)2－32=16k2－9.
2.(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2;
(a－b)(a+b)=a2－b2;
(－a+b)(a+b)=(b+a)(b－a)=b2－a2;
(－a－b)(a+b)=－a(a+b)－b(a+b)
=－a2－ab－ab－b2
=－a2－2ab－b2
(教師在讓學生做練習，可巡視練習的情況，對確實有困難的學生要給以指導)
Ⅳ.課時小結
［師］同學們有何體會和收穫呢？
［生］今天我們學習了多項式乘法運算中的一個重要公式——平方差公式即(a+b)(a－b)=a2－b2.
［生］應用這個公式要明白公式的特徵：
(1)左邊為兩個數的和與差的積；
(2)右邊為兩個數的平方差.
［生］公式中的a、b可以是數，也可以是代表數的整式.
［生］有些式子表面上不能用公式，但透過適當變形實質上能用公式.
［師］同學們總結的很好！還記得剛上課的一個問題嗎？計算992－1，現在想一想，能使它運算更簡便嗎？
［生］可以.992－1可以看成99與1的平方差，從右往左用平方差公式可得：
992－1=992－12=(99+1)(99－1)=100×98=9800.
［師］我們發現平方差公式的應用是很靈活的，只要你準確地把握它的結構特徵，一定能使你的運算簡捷明瞭.
Ⅴ.課後作業