高考數學必備方差公式
高考數學必備方差公式
一.方差的概念與計算公式
例1 兩人的5次測驗成績如下：X： 50，100，100，60，50 E(X )=72;Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。
平均成績相同，但X 不穩定，對平均值的偏離大。方差描述隨機變數對於數學期望的偏離程度。單個偏離是消除符號影響方差即偏離平方的均值，記為D(X )：直接計算公式分離散型和連續型，具體為：
這裡D(X) 是一個數。推導另一種計算公式
得到：“方差等於平方的均值減去均值的平方”。
其中，分別為離散型和連續型計算公式。 稱為標準差或均方差，方差描述波動
二.方差的性質
1.設C為常數，則D(C) = 0(常數無波動);
2. D(CX )=C2 D(X ) (常數平方提取);
證：特別地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(方差無負值)
3.若X 、Y 相互獨立，則
證：記則前面兩項恰為 D(X )和D(Y )，第三項展開後為當X、Y 相互獨立時，，故第三項為零。特別地獨立前提的逐項求和，可推廣到有限項。
方差公式：
平均數：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表示這組資料個數，x1、x2、x3……xn表示這組資料具體數值)
方差公式：S=〈(M-x1)+(M-x2)+(M-x3)+…+(M-xn)〉?n
三.常用分佈的方差
1.兩點分佈
2.二項分佈
X ~ B ( n, p )引入隨機變數 Xi (第i次試驗中A 出現的次數，服從兩點分佈)
3.泊松分佈(推導略)
4.均勻分佈
另一計算過程為
5.指數分佈(推導略)
6.正態分佈(推導略)
7.t分佈 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2);
8.F分佈：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2);
~正態分佈的後一引數反映它與均值 的偏離程度，即波動程度(隨機波動)，這與圖形的特徵是相符的。
例2 求上節例2的方差。
解 根據上節例2給出的'分佈律，計算得到
工人乙廢品數少，波動也小，穩定性好。
方差的定義：
設一組資料x1,x2,x3······xn中，各組資料與它們的平均數x(拔)的差的平方分別是(x1-x拔)，(x2-x拔)······(xn-x拔)，那麼我們用他們的平均數s2=1/n【(x1-x拔)+(x2-x拔)+·····(xn-x拔)】來衡量這組資料的波動大小，並把它叫做這組資料的方差。