數與式中考複習課件
在我們學習的數學當中，數與式是少不了，那麼中考的同學們學習了哪些數與式的知識呢？
1.1實數的意義
基礎盤點
1．_____和_____統稱為有理數，________叫做無理數，有理數和無理數統稱為______．
2．規定了_____、_____和_____的_____叫做數軸.實數與數軸上的點具有______的關係．
3．相反數：a與________互為相反數，若a與b互為相反數，則a+b=________.
4. 倒數：若ab=1，則a與b互為________.
5．數軸上，表示a的點___________，叫做a的絕對值.
6．科學記數法就是把一個數寫成 的形式，其中a的範圍是_____，n是整數.
考點呈現
考點1 實數的有關概念
例1(201X綏化)在實數0 、π 、 、 、 中 ，無理數的個數有（ ） A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
解析：在給出的各個數中， 和 是無限不迴圈小數，它們是無理數，故應選B．
評註：解此類問題，關鍵是牢記無理數有三種形式：一是開方開不盡的數（如 ）；二是具有特定結構的數（如0.1010010001…）；三是含有圓周率 和自然常熟e的數（如 ）．
例2 （201X畢節）下列說法正確的是 （ ）
A. 一個數的絕對值一定比0大 B. 一個數的相反數一定比它本身小
C. 絕對值等於它本身的數一定是正數 D. 最小的正整數是1
解析：0的絕對值是0，故A和C錯誤；負數的相反數比它本身大，零的相反數等於它本身，故B錯誤；最小的正整數是1，故D正確．故選D.
評註：本題考查了實數的概念，熟練掌握絕對值、相反數的概念、實數大小的比較方法，是解決此題的關鍵．
考點2 近似數與科學記數法
例3 （201X黔南州）下列各數表示正確的是 （ ）
A. 57 000 000=57×106
B.0.0158（用四捨五入法精確到0.001）≈0.015
C.1.804（用四捨五入法精確到十分位）≈1.8
D.0.000 025 7=2.57
解析：根據科學記數法的表示方法，57000000應等於5.7×107，0.000 025 7=2.57 ，故A和D均不對；0.0158用四捨五入法精確到0.001等於0.016，B不對，所以應選C.
評註：在用科學記數法把一個數寫成 的形式時，表示一個絕對值大於1的數時，n的值比原數的整數位數小1；表示絕對值小於1的數時，n的值是負整數，是第一個非零數字前所有0的個數的相反數.近似數的精確度，就是這個近似數中最後一個數字所在的那一位.
考點3 實數與數軸
例4 （201X威海）實數 在數軸上的位置如圖所示，下列結論錯誤的是 （ ）
A. ＜1＜ B. 1 ＜ ＜ C. 1 ＜ ＜ D. ＜ ＜-1
解析：根據實數a，b在數軸上的位置，可得a＜﹣1＜0＜1＜b，所以 >1，所以A是錯誤的，應選A．
評註：解答此題的關鍵是要明確數軸及絕對值的意義及實數大小的比較方法．解答此類題型還可以將a，b用相應的數字代替，然後比較各個選項即可.
考點4 非負數的性質
例5 （201X綿陽）若 ，則 （ ）
A． B．1 C． D．
解析：因為非負數 和 之和等於零，故 ，所以 ，則 = ，故選A．
評註：常見的非負數有以下幾類：一個數的絕對值、一個數的偶數次方、一個非負數的算術平方根等．非負數有如下性質：它有最小值（為零），但無最大值；如果幾個非負數的和等於零，那麼每一個非負數都等於零．
考點5 無理數的估算
例6 （2015?自貢）若兩個連續整 數 ， 滿足 ＜ ＜ ，則 值是___．
解：因為4＜5＜9，所以 ＜ ＜ ，即2＜ ＜3，由此可得3＜ +1＜4，故 =3， =4，所以 =7．
評註：實數的估算，常見題型就是確定無理數a的整數部分和小數部分，其方法是將無理數a限制在兩個連續的整數之間，形如n<a<n+1，則其整數部分就是n，小數部 分就是a-n．
誤區點撥
1．對無理數的概念理解不清致錯
例1 （2015?通遼）實數tan45°， ，0，﹣ π， ，﹣ ，sin60°，0.3131131113…（相鄰兩個3之間依次多一個1），其中無理數的個數是 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．3
錯解：A
剖析：無理數就是無限不迴圈小數，常見的有三種類型（見例1評註），本題中，﹣ π，sin60°，0.3131131113…是無理數，故應選D．需注意的是 =2， ，都是有理數．正確答案為D.
2．考慮問題不全面致錯
例2 如果 ，則 =____.
錯解：6.
剖析：本題應分兩種情況，即 或 ，錯解只考慮了前一種情況，而忽視了後一種情況.答案應為6或-4.
跟蹤訓練
1.（201X上海）下列實數中，是有理數的為 （ ）
A. 錯誤！未找到引用源。 B. 錯誤！未找到引 用源。 C.錯誤！未找到引用源。 D 0
2.（201X內江）用科學記數表示0.0000061，結果是 （ ）
A. B. C. D.
3.（201X資陽）如圖，已知數軸上的點A，B，C，D分別表示數-2，1，2，3，則表示3－ 的點P應落線上段 （ ）
A．AO上 B．OB上 C．BC上 D．CD上
4.（2015?菏澤）如圖，四個有理數在數軸上的對應點M，P，N，Q，若點M，N表示的有理數互為相反數，則圖中表示絕對值最小的數的點是 （ ）
A. 點M B. 點N C. 點P D. 點Q
5.（2015?資陽）已知： ，則 的值為____．
1.2實數的運算及二次根式
基礎盤點
1．實數的運算
⑴在進行實數的加法與乘法運算時，可以先確定結果的符號，再確定結果的絕對值.
⑵減去一個數，等於_________；除以一個數，等於________.
⑶________叫做乘方，乘方的結果叫做________.
⑷ ， （a≠0，且m為整數）.
2．二次根式
⑴形如______的式子，叫做二次根式．
⑵ ，
考點呈現
考點1 實數的運算
例1 （201X畢節）計算： ．
解析：先根據零指數冪、負整數指數冪的意義，實數的絕對值的性質等知識將原式化簡，再進行計算.
原式= ．
評註：進行實數運算，首先要掌握零指數、負整數指數冪的意義及實數的有關性質，其次要確定運算順序，另外還要根據算式特點，使用運算定律，以達到簡化運算之目的.
考點2 二次根式有意義的條件
例2 （201X攀枝花）若 ，則 =______．
解析：根據二次根式有意義的條件可知， ，且 ，所以x=3，y=2，解得 =9.
評註：本題主要考查對二次根式有意義的條件的理解和掌握，根據二次根式有意義的條件，求出x與y的值是解此題的關鍵．
考點3 二次根式的計算
例3 （201X臨沂）計算： ．
解析：先將所求算式變形為 ，然後根據平方差公式展開得 ，再利用完全平方公式展開後合併，即可得出最後結果為 （過程略）．
評註：實數的運算律對二次根式的運算仍適用，並且在進行二次根式的運算時，可以利用乘法公式簡化運算步驟．
誤區點撥
1．對平方根和算術平方根概念理解不清致錯
例1 （201X涼山州） 的平 方根是____．
錯解： 或3．
剖析：由於不理解題意，誤將結果求成81的平方根，而得出 ；不理解平方根的意義，得出3這一錯誤結果．因為 ，故本題求的是9的平方根，答案應為 ．
2．由於不理解負整數指數冪和絕對值的意義知錯
例2 (201X綏化)計算： _________.
錯解：原式= ．
剖析：本題兩個錯誤，一是去絕對值符號時，由於沒搞清 的正負，造成了去絕對值符號時的錯誤．因為 ＜0，所以其絕對值等於 ；二是錯在由於不理解負整數指數冪的意義，將 求錯．原式= ．
跟蹤訓練
1．（201X綿陽）要使代數式 有意義，則 的 （ ）
2．A．最大值是 B．最小值是 C．最大值是 D．最小值是
2．（201X淮安）下列式子為最簡二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
3．（201X潛江）下列各式計算正確的是 （ ）
A． B． C． D．
1.3整式
基礎盤點
1．單項式和多項式統稱為______；所含字母____，並且相同字母也相同的'項，叫做______．
2．整式的運算：（1） _______； _______； _______； _______（a≠0）.
（2） _______； =_______.
3．乘法公式：⑴ =________；⑵ =_________．
4．因式分解：⑴把一個_____化為幾個________的形式，叫多項式的因式分解.
⑵因式分解常用的方法有______法和______法.
考點呈現
考點1 整式的有關概念
例1 （201X巴中）若單項式 與 是同類項，則a，b的值分別為（ ）
A．a=3，b=1 B．a=－3，b=1 C．a=3，b=－1 D．a=－3，b=－1
解析：因為這兩個單項式是同類項，所以 ，解得a=3，b=1，故選A．
評註：本題考查了同類項的概念，可利用同類項中“相同字母的指數相同”這一條件，列出方程組求解．
考點2 冪的運 算
例2 （201X湖北鄂州）下列運算正確的是 （ ）
A. B. C. D.
解析：選項A用同底數冪的乘法法則計算，結果為 ；選項B為冪的乘方，應將指數相乘，結果為 ；選項C為積的乘方，應將積中每個因式分別乘方，結果為 ；選項D用同底數冪的除法計算，結果正確．故選D.
評註：冪的運演算法則是進行整式乘除的基礎，在運用冪的運演算法則進行計算時，不要將它們弄混，要熟記各個法則的特點，根據題目靈活選擇合適的使用．
考點3 乘法公式
例3 （201X河池）先化簡，再求值：（3-x）(3+x)+(x+1)2，其中x=2．
解析：分別利用平方差公式和完全平方公式，按去括號、合併同類項的步驟化簡，再代入求值.
原式= = ，當 時，原式=14．
評註：在運用乘法公式時，要先觀察算式的特點是否符合公式條件，再確定能否利用公式計算，若實在不能變為符合公式的形式，那就應該用多項式與多項式相乘的法則進行計算．
考點4 整式的運算
例4 (201X湖北隨州市)先化簡，再求值：(2＋A(2－A＋a(a－5b)＋ ÷ ．其中ab＝－ ．
解析：先根據乘法公式、整式乘除法的法則去括號，得原式＝4－ ＋ －5ab＋3ab，再合併同類項，得4-2ab，最後代 入求值，結果為5（過程略）．
評註：在進行整式運算時，不要漏項，不要搞錯符號，對於計算結果，有同類項的要合併同類項，還有就是應將結果按某一字母降冪排列．
1. 對乘法公式的結構認識不清致錯
例2 計算： ．
錯解： ．
剖析：錯解錯在對乘法公式的結構認識不清，在運用乘法公式時，關鍵要弄清公式中 與 所代表的代數式，題中根本不能用平方差公式，應變形後用完全平方公式．答案為 .
2. 分解因式不徹底致錯
例2 分解因式： ；
錯解： ．
剖析：分解因式時，要先觀察多項式中是不是有公因式，若有公因式，應先提公因式，錯解就錯在沒提公因式，直接運用平方差公式，造成了分解不徹底這一錯誤，正確結果為 ．
跟蹤訓練
1．（201X陝西）下列計算正確的是 （ ）
A．a2?a3=a6 B．(-2ab)2=4a2b2 C．(a2)3=a5 D．3a3b2÷a2b2=3ab
2．（201X邵陽）已知a ＋b=3，ab=2，則 的值為 （ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
3．⑴（201X綿陽） =____；
⑵（201X常德） =_____．
4．因式分解：⑴（201X?鄂州）a3b﹣4ab=____；⑵（201X巴中）2a2﹣4a+2=____．
5．化簡：⑴（201X浙江省溫州）（2a+1）(2a-1)-4a(a-1)．
⑵（201X湖北省咸寧）化簡： .
6．（201X江西省）先化簡，再求值： ，其中 ， ．
1.4 分式
基礎盤點
1．分式有意義的條件是______，分式值為零的條件是______．
2．分式的基本性質：（1） ______；（2） ______；（3） .
3．分式的運算：（1） =______， =______， =______；（2） =______， =______．
考點呈現
考點1 分式有意義的條件
例1 ( 201X綏化)若代數式 的值等於0 ，則x=_________.
解析：由分式的值為零可知x2﹣5x+6=0且2x﹣6≠0，由x2﹣5x+6=0，得x=2或x=3；由2x﹣6≠0，得x≠3，所以x只能取2．
評註：若分式的值為零，需同時具備兩個條件：（1）分子為0；（2）分母不為0．這兩個條件缺一不可．
考點2 分式的基本性質
例2 （201X益陽）下列等式成立的是 （ ）
A． B． C． D．
解析：根據分式的性質對四個選項逐一分析可知只有C正確，故應選C．
評註：分式的基本性質是分式變形的依據，在利用分式基本性質變形時，分子和分母必須同乘或（除以）同一個不為零的數或式，分式的值才不變．
考點三：分式的運算
例3 （201X四川省涼山州市）先化簡： ，然後從 的範圍內選取一個合適的整數作為 的值代入求值.
解：原式= = = ，
當 時，原式= .
評註：所代入的數不能為0、1和-1，因為這些數使原式無意義.
誤區點撥
1．忽視分式中分母不為零致錯
例1 （201x涼山州）分式 的值為零，則x的值為 （ ）
A. 3 B. ﹣3 C. ±3 D. 任意實數
錯解：C
剖析：錯解錯在只考慮了分子為零，而忽視了分母不為零這一條件，應選A．
2．利用分 式的基本性質變形時，忽視同乘或同除的數不能為零致錯
例2 以下兩個等式：① ；② ．其中一定成立的是_____（填序號）．
錯解：①②．
剖析：①不一定成立，因為變形時兩邊同乘以的 有可能得零；而②一定成立，因為題目中隱藏著 這一條件．故答案為②.
跟蹤訓練
1．（201X金華）要使分式 有意義，則x的取值應滿足 ( )
A.x＝－2 B.x≠2 C. x＞－2 D.x≠－2
2．（201X義烏）化簡 的結果是 （ ）
A.x+1 B. C. x-1 D.
3．（201X無錫）化簡 得__________．
4．（201X河北）若 ，則 的值為 ．
5．（201X達州）化簡 ，並求值．其中a與2、3構成△ABC的三邊，且a為整數．
參考答案
1.1實數的意義
1.D 2.B 3.B 4.C 5. 12
1.2實數的運算與二次根式
1.A 2.A 3.D 4. 5 5.
1.3整式
1.B 2.C 3．⑴0；⑵ 4．⑴ab（a+2）（a﹣2）；⑵2（a﹣1）2
5．⑴4a-1；⑵
6．原式= ，當a=-1，b= 時，原式=-11．
1.4分式
1.D 2.A 3． 4．
5．原式化簡得 。由題意可得1＜a＜5，a又為整數，所以a=4.當a=4.時，原式=1.