數學六年級下冊第五單元《正比例和反比例》教材分析
一、教學內容
本單元在常見數量關係的基礎上編排，教學正比例關係和反比例關係。與過去的《大綱》教材相比，本單元加強對正比例和反比例的理解，重視對正比例關係影象的認識與簡單應用，不利用正比例、反比例解答應用題。
全單元編排3道例題、一個練習，教學內容分成兩段。
例1、例2，正比例的意義、正比例的影象；
例3，反比例的意義。
二、教材編寫特點和教學建議
1．細緻安排學生的首次感知。
正比例概念和反比例概念都要在充分的感知活動中形成，例1和例3分別是學生首次感知正比例關係與反比例關係，教材作了很細緻的安排。例1把感知過程設計成四步。
·寫比、求比值、解釋比值。例1呈現的表格裡是一輛汽車行駛的時間和路程的資料，讓學生從中選擇幾組相對應的路程和時間，分別寫出比並求出比值，發現所有比的比值都是80，體會這個比值是汽車行駛的速度，這輛汽車的行駛速度始終不變。
路程
時間
·用數量關係式表示比值一定。寫出的各個比的數量關系相同，可以用式子“ ＝速度（一定）”表示它們的共同特徵。學生對“路程比時間等於速度”很熟悉，而“速度（一定）”是例1數量關係的特點，首次感知正比例關係的要點就在這裡。
·體會相關聯的量。正比例是兩個相關聯量的關係，教材指出路程和時間是兩種相關聯的量。說它們“相關聯”，是因為時間變化，路程也隨著變化。
·揭示正比例意義。在前三步感知活動的基礎上，告訴學生：當路程和相應的時間的比值總是一定時，就說行駛的路程和時間成正比例，行駛的路程和時間叫做成正比例的量。
例3首次感知反比例關係，也分四步進行。依次是：觀察表格裡的'資料，筆記本的單價變化，購買的數量也變化，但總價始終不變；用數量關係式表示積一定；理解相關聯的量；揭示反比例意義。
2．變換情境，讓學生反覆感知。
僅有例題的首次感知還不能形成正比例、反比例的概念，需要反覆感知，積累充分的感性認識。P62“試一試”、練習十三第1題再次感知正比例關係，P65“試一試”、練習十三第6題再次感知反比例關係。
·選擇與例題不同的數量。P62“試一試”裡購買鉛筆的數量與總價是相關聯的量，它們的比值（單價）保持不變。練習十三第1題裡碾米機的工作時間與碾米數量是相關聯的量，它們的比值（工作效率）保持不變。學生在感知正比例關係的同時，體會這種關係是生活中常見的。
·提出問題，引導有序地思考。“試一試”和練習題分別設計四個和三個連續的問題，引導學生有條理地思考，獨立、主動經歷感知過程。
·重溫發現正比例關係的方法。幾個連續問題裡的學習活動依次是：找到相關聯的兩種量→寫出幾組對應數量的比並求比值→比較比值的大小，解釋比值的意義→用數量關係式表達比值一定→作出成正比例的結論。這些活動與例題保持一致，重溫了認識正比例關係的過程，為判斷兩種量成不成正比例打下了基礎。
3．建立正比例、反比例的概念。
本單元教學要形成正比例和反比例的概念。概念是一類現象共同的本質特徵的反映，形成概念要對感性認識進行抽象與概括。
·提取共同特徵。各個成正比例的例項中都有兩個相關聯的量，兩種量相對應的數的比值總是一定的。各個成反比例的例項裡也有兩種相關聯的量，它們相對應的數的積是一定的。這些分別是正比例、反比例的本質特徵，建立概念，要把這些共同特徵提取出來。
·用字母表示關係與特徵。用字母x和y表示兩種相關聯的量，用k表示它們的比值或者表示它們的積，用字母組成的式子表示正比例和反比例關係，是認識的一次抽象，概念在抽象中形成。
4．應用概念，判斷比例關係。
形成概念是為了更好地認識和把握客觀世界，在現實生活中應用概念識別、判斷和推理。正比例和反比例是常見的數量關係，判斷比例關係還能初步體驗函式思想，發展數學思考。
·判斷具體問題裡的正比例、反比例。第63頁“練一練”、第65頁“練一練”分別判斷兩種量成不成正比例或反比例，並說出理由。要根據正、反比例的意義，利用表格裡的資料，按照例題和“試一試”的方法與步驟進行思考。透過判斷，進一步理解正比例、反比例的意義。練習十三第2、7兩題也作出類似的安排。能夠在具體問題裡進行判斷，是本單元的基本要求。
·利用反例加強概念。第66頁第3題透過畫圖、計算和填表，理解正方形面積與邊長不成正比例。第68頁第8題透過看圖、填表，理解長方形周長一定，長和寬不成反比例。這些都是在具體問題裡作出的判斷，能使學生深刻體會正比例、反比例的特徵，從而加強概念。
·初步進行稍抽象的判斷。第70頁第12題沒有提供具體的資料，判斷兩種量是不是成正比例或反比例，是較高的要求。雖然思維比較抽象，也要按照判斷正比例、反比例的一般程式，先找到相關聯的量，研究兩個量是不是比值一定或者積一定，然後作出結論。其中的（2），一個人的年齡與體重不能看作相關聯的量，而且它們的比或乘積都沒有實際意義，更談不上比值一定或積一定，因而既不成正比例，也不成反比例。
5．認識並簡單應用正比例的影象。
正比例影象是一條射線（中學裡是一條直線），反比例影象是曲線（中學裡是雙曲線）。本單元只教學正比例的影象，不教學反比例的影象。
正比例影象的教學要求有兩點，一是聯絡畫折線統計圖的經驗，在方格紙上描出表示各組對應數量的點，知道所描的點在同一條直線上。二是已知一組相對應的數量中的一個數量，在影象上估計另一個數量是多少。