初中數學優質課堂實錄
課題：
初一數學“比較線段的長短”（第一課時）
課堂實錄：
課前探究
情景1：教師不小心把課本掉在教室門口，請同學幫我撿一下，並解釋你為什麼選擇這條路線？
情景2：《課本》P89，如圖，小狗和小貓為什麼都選擇直的路線？“難道它們也懂數學？”
師：小組先合作，討論一下。
（學生紛紛討論，興致極高）
（幾分鐘後）
師：那位同學能把你們組討論的結果告訴大家。
（學生們爭先恐後地舉手）
師：請4組的5 號同學回答。
生1：我會走最直的路線去撿這本書。（該生說著並沿直線走了過去，快速把書撿了起來）
師：同學們，他為什麼選擇這樣的路線？而不選擇別的路線？
生2：這樣好走。
生3：這樣走最省時間。
生4：這樣走簡單。
…… ……
生6：這樣走最近。
師：為什麼這樣走最近？
生5：因為這樣走時直的。
生6：直的最近。
師：（讚許）這位同學回答得非常好！因為是直線，所以這條路線最短。
師：現在請大家思考一下，如果把小狗用一個點A表示，把獵物用另一個點B表示，那麼小狗走的路線就是線段AB，把它作為第①路線；從Ａ走到點Ｂ，除了線段ＡＢ，還可以有無數條路線，如第②路線，第③路線……（老師在黑板上畫出圖形。）
從圖中，大家可以看出在這些線中，哪條最短？
生：（異口同聲）①最短。
師：（板書）
１.在兩點之間的所有連線中，線段最短。簡稱“兩點之間線段最短”。
２.兩點間線段的長度，叫做兩點之間的距離，
師：關於這兩個知識點，請大家注意以下幾點
① 兩點之間線段最短，不是直線最短。
② 兩點間線段的長度，叫兩點間距離。注意是線段的長度。
師：請大家理解一下這兩個知識點。
（設計意圖：①問題情境的創設從“老師的書掉到地上尋求幫助”、“小貓和小狗為了搶食物而奔跑”這樣學生比較熟悉的生活背景出發，提出了“難道它們也懂數學？”的疑問，這樣的引入，貼近學生的生活實際，讓學生體會到數學就在我們身邊，讓學生認識到數學來源於生活，又服務於生活，從而激發學生的求知慾。使課堂的一開始就充滿靈動的神韻。②把小狗、獵物表示為一個點，把小狗的行走路線表示為一條直線，這樣把實際問題抽象成數學問題並板書於黑板，教師輔助以語言講解，讓學生充分直觀地體會“到兩點之間線段最短”，明確兩點之間距離的含義，並初步瞭解數形結合的數學思想。③根據課堂教學的需要以及學生的思路適時調整提問方式，環環相扣的提出問題，啟而不發的`引導學生使他們的思路向主題靠攏；並從學生的回答中，不失時機的挖掘“閃光點”，加以引申引導，以達到本節課的授課目的。）
2 米山中學袁吉玲
圓與圓的位置關係
師出示幻燈片
你認識上面的幾何圖形嗎？他們由哪些圖形組成？
生答:多個圓
師指出：這節課我們來探究圓與圓的位置關係。（標課題）
圓與圓有幾種位置關係？
師指導探究一：
我們研究直線與圓的位置關係時以公共點的個數來區分的，圓與圓的位置關係我們也從公共點的個數來區分的話有幾種位置關係？
（1）自己動手在兩張透明紙上畫兩個大小不同的圓，固定其中一個移動另一個，觀察兩圓有幾種不同位置關係.
（2）觀看兩圓位置關係演示，試著把它們畫出來.
生動手，師巡視後請學生到黑板板演
兩個圓沒公共點如圖：（1）（2）（3）
一個公共點如
圖（4）(5)
兩圓有2個
公共點如圖（6）
師問：兩圓有沒有三個公共點？
生答：沒有。
師問：為什麼？
生A答：不在同一直線上的三點確定一個圓，如果有三個公共點，那麼這兩個圓就重合為一個圓。
師問：看圖1、2、都沒有公共點，兩圓的位置關係有沒有不同的點？
生答：有不同點
師問：不同點是？
生丁答1中一個圓的所有點在另個圓的外部，2中其中一個圓的所有點在另個圓的內部。
師指出圖一位置關係我們稱外圖二位置關係稱內涵，圖三的位置關係是內含的特例：同心圓
師問那麼圖4和5有沒有異同點，如果有是什麼？
生答；有，一個圓的所有點都在另一個圓的內部，一個圓的所有點在另一個的外部
師質疑：公共點T是在圓的外部還是在內部？
生更正：一個圓的所有點除公共點外都在另一個圓的內部，一個圓的所有點初公共點外在另一個的外部
師指出圖4的位置關係是外切，圖5的位置關係是內切，可以統稱為相切。圖6的位置關係我們稱相交。
師問：兩個不等圓有幾種位置關係，他們是什麼？
生答：5種，外離，外切，相交，內切，內含
師問：如果兩圓沒有公共點那麼兩圓的位置關係是？如果兩圓有一個公共點那麼兩圓的位置關係是？
生答：外離、內含，外切、內切。
師問：兩個不等圓有5種位置關係，那麼兩個相等的圓有幾種位置關係。
生答：三種。外離、外切、相交。
師：兩不等圓的這5種位置關係是不是軸對稱圖形？如果是，對稱軸是什麼？
在學生討論的過程中，教師適當引導：我們知道圓是軸對稱圖形，任何過圓心的直線都是它的對稱軸，那麼兩圓在各種位置關係中的組合圖形還是軸對稱圖形嗎？對稱軸是什麼？學生爭先恐後地回答：是，對稱軸是過兩圓心的直線。師：過兩圓心的直線我們叫連心線。
大家再觀察（4）（5）圖形，還能發現什麼？在這裡學生容易觀察出切點在對稱軸上，但說明切點在連心線上有一定困難，特給予一定的時間討論,教師給予清楚地分析。
師：我們在研究直線與圓的位置關係的時候，除了從定性的角度（公共點的個數）還從定量的角度來分析他們的位置關係，下面我們也從定量的角度來分析兩圓的位置關係。
師問：兩圓的位置關係與哪些量有關？有怎樣的關係？
師課件展示：兩圓半徑不動，移動位置改變兩圓的位置關係；兩圓的位置不動，改變圓的大小從而改變兩圓的位置關係 學生回答：兩圓的位置關係由兩圓的圓心距和兩圓的半徑有關，
師再問：有什麼關係？
師指導探究二、要求學生先獨立思考後小組合作交流，再生生交流釋疑
在這個過程中教師巡視指導後由生到黑板板演關係
外離 d＞r1＋r2
外切 d=r1＋r2
相交 r1-r2＜d＜r1＋r2
內切d=r1-r2
內含0＜＝d＜r1-r2
師問：下面的同學是否同意上面的觀點？
生B答：內切內含要說明r1要大於r2
並且內含要有等於0的情況。
師質疑：為什麼？
此生答：因為等圓沒有內切、內含的位置關係。內含時有一種特例：同心圓，此時圓心距為零。師給予肯定。
師總結提高，在數軸上表
在判斷兩圓的位置關係的時候，一般先計算兩圓半徑的和與差，
學以致用
兩圓的半徑分別為3和5，兩圓心距為9、8、 7 、6 、5 、4、 3 、2、 1 時兩圓的位置關係是什麼？
生答：外離，外切，相交，相交，相交，相交，相交，內切，內含師指導小組合作自學例題後做課後隨堂練習和變式訓練。 變式訓練：
兩圓相切，一圓半徑為6，圓心距為4，求另一圓的半徑。
兩圓半徑分別為6和8，兩圓相交，求圓心距。
（教師巡視，抽生到黑板板演）
3 崔明宇
透過問題鏈，啟動學生們的思維，在解決問題的過程中引出課題並解決課題也不失為一種好的方法。比如：
配方法是初中數學中比較重要的一種方法。在一元二次方程的解法、二次函式中都有涉及。但是講授配方法卻經常令人無從下手。
我以為，巧借數形結合這種思想可以很好的加以解決。“一元二次方程解法”匯入：
師：我們學過了直接開平方解一元二次方程，請你舉出幾個這樣的方程。（學生舉例）這種方程具有什麼特點？
生：等式的一邊是含有未知數的整式的平方，另一邊是一個非負數。
師：看圖①，已知正方形的邊長為x，它的面積可以表示為 ,如果邊長增加4，新正方形的邊長為 ,面積表示為 ,如果新正方形面積為400，由此可以列方程 。能求出原來正方形的邊長x嗎？
學生不難列出方程（x+4）2=400,並且輕而易舉利用直接開平方法求出原正方形的邊長x。
師：在圖①中，右下角的小正方形的邊長是 ,面積是 。我們截去這個小正方形，把餘下的三部分拼成圖②形狀，現在這個圖形是個矩形，它的邊長分別是 、 ,面積可以表示成 ,實際上它的面積是 ,於是我們也可以列出一個方程 。
生：x(x+8)=384，即x2+8x=384。（一）
師：這個方程怎樣解？（將學生一軍，在此之前進行的都比較順利，基本沒有障礙，但這個問題把學生難住了。）
師趁熱打鐵，把圖②拼成圖③形狀。現在不是正方形了，需要補上一塊什麼樣的圖形才能得到一個大正方形？ （學生回答：4 x4=16的正方形 ）。原來面積是 （384）,現在大正方形面積 （384+16=400）,現在正方形邊長是 （x+4） 。 可得方程x2+8x+42=384+42，即（x+4）2=400（二）
對比方程（一）、（二），實際上就是方程（一）的兩邊都加上了一個數42得到方程（二），這樣方程經過我們的操作左邊配成了一個我們熟悉的式子：完全平方式。所以這個方程對我們來說就沒有困難了，我們可以透過直接開平方的方法來解它。
生歸納，師點撥：為什麼方程（一）不能用直接開平方的方法解，而方程（二）能呢？哪一步比較重要？是怎樣處理的？引出課題：這就是我們要研究的配方法解一元二次方程。
透過這種問題鏈的形式，層層遞進，一步一個腳印，一步一個臺階，穩紮穩打，循序漸進，本來水窮山盡疑無路，最終卻柳暗花明又一村。