程式設計師面試題-求Fibonacci數列[演算法]
題目：定義Fibonacci數列如下：
/0n=0
f(n)= 1n=1
f(n-1)+f(n-2)n=2
輸入n，用最快的方法求該數列的第n項。
分析：在很多C語言教科書中講到遞迴函式的時候，都會用Fibonacci作為例子。因此很多程式設計師對這道題的遞迴解法非常熟悉，看到題目就能寫出如下的遞迴求解的程式碼。
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// Calculate the nth item of Fibonacci Series recursively
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long long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
{
int result[2] = {0, 1};
if(n < 2)
return result[n];
return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
}
但是，教科書上反覆用這個題目來講解遞迴函式，並不能說明遞迴解法最適合這道題目。我們以求解f(10)作為例子來分析遞迴求解的過程。要求得f(10)，需要求得f(9)和f(8)。同樣，要求得f(9)，要先求得f(8)和f(7)……我們用樹形結構來表示這種依賴關係
f(10)
/
f(9)f(8)
//
f(8) f(7)f(7)f(6)
/ /
f(7) f(6)f(6) f(5)
我們不難發現在這棵樹中有很多結點會重複的，而且重複的結點數會隨著n的增大而急劇增加。這意味這計算量會隨著n的增大而急劇增大。事實上，用遞迴方法計算的時間複雜度是以n的指數的`方式遞增的。大家可以求Fibonacci的第100項試試，感受一下這樣遞迴會慢到什麼程度。在我的機器上，連續運行了一個多小時也沒有出來結果。
其實改進的方法並不複雜。上述方法之所以慢是因為重複的計算太多，只要避免重複計算就行了。比如我們可以把已經得到的數列中間項儲存起來，如果下次需要計算的時候我們先查詢一下，如果前面已經計算過了就不用再次計算了。
更簡單的辦法是從下往上計算，首先根據f(0)和f(1)算出f(2)，在根據f(1)和f(2)算出f(3)……依此類推就可以算出第n項了。很容易理解，這種思路的時間複雜度是O(n)。
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// Calculate the nth item of Fibonacci Series iteratively
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long long Fibonacci_Solution2(unsigned n)
{
int result[2] = {0, 1};
if(n < 2)
return result[n];
long long fibNMinusOne = 1;
long long fibNMinusTwo = 0;
long long fibN = 0;
for(unsigned int i = 2; i <= n; ++ i)
{
fibN = fibNMinusOne + fibNMinusTwo;
fibNMinusTwo = fibNMinusOne;
fibNMinusOne = fibN;
}
return fibN;
}
這還不是最快的方法。下面介紹一種時間複雜度是O(logn)的方法。在介紹這種方法之前，先介紹一個數學公式：
{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1
(注：{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一個矩陣。在矩陣中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。)
有了這個公式，要求得f(n)，我們只需要求得矩陣{1, 1, 1,0}的n-1次方，因為矩陣{1, 1, 1,0}的n-1次方的結果的第一行第一列就是f(n)。這個數學公式用數學歸納法不難證明。感興趣的朋友不妨自己證明一下。
現在的問題轉換為求矩陣{1, 1, 1, 0}的乘方。如果簡單第從0開始迴圈，n次方將需要n次運算，並不比前面的方法要快。但我們可以考慮乘方的如下性質：
/ an/2*an/2 n為偶數時
an=
a(n-1)/2*a(n-1)/2 n為奇數時
要求得n次方，我們先求得n/2次方，再把n/2的結果平方一下。如果把求n次方的問題看成一個大問題，把求n/2看成一個較小的問題。這種把大問題分解成一個或多個小問題的思路我們稱之為分治法。這樣求n次方就只需要logn次運算了。
實現這種方式時，首先需要定義一個2×2的矩陣，並且定義好矩陣的乘法以及乘方運算。當這些運算定義好了之後，剩下的事情就變得非常簡單。完整的實現程式碼如下所示。
#include
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// A 2 by 2 matrix
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struct Matrix2By2
{
Matrix2By2
(
long long m00 = 0,
long long m01 = 0,
long long m10 = 0,
long long m11 = 0
)
:m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11)
{
}
long long m_00;
long long m_01;
long long m_10;
long long m_11;
};
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// Multiply two matrices
// Input: matrix1 - the first matrix
// matrix2 - the second matrix
//Output: the production of two matrices
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Matrix2By2 MatrixMultiply
(
const Matrix2By2& matrix1,
const Matrix2By2& matrix2
)
{
return Matrix2By2(
matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10,
matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11,
matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10,
matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
}
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// The nth power of matrix
// 1 1
// 1 0
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
{
assert(n > 0);
Matrix2By2 matrix;
if(n == 1)
{
matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
}
else if(n % 2 == 0)
{
matrix = MatrixPower(n / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
}
else if(n % 2 == 1)
{
matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
}
return matrix;
}
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Calculate the nth item of Fibonacci Series using devide and conquer
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long long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)
{
int result[2] = {0, 1};
if(n < 2)
return result[n];
Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
return PowerNMinus2.m_00;
}