數學立方和的公式推導過程
我們知道：
0次方和的求和公式N^0＝N+1
1次方和的.求和公式N^1＝N(N+1)/2
2次方和的求和公式N^2＝N(N+1)(2N+1)/6
取公式：(X+1)^4-X^4=4*X^3+6*X^2+4*X+1
係數可由楊輝三角形來確定
那末就有：
(N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1....................................(1)
N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1.......................(2)
(N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1..................(3)
...................
2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1...................................(n)
於是(1)+(2)+(3)+........+(n)有
左邊=(N+1)^4-1
右邊=4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N
所以呢
把以上這已經證得的三個公式帶入
4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+......+N^2)+4(1+2+3+......+N)+N=(N+1)^4-1
得4(1^3+2^3+3^3+......+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N
移項後得1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4(N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)
等號右側合併同類項後得1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4(N^4+2N^3+N^2)
即
1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4[N(N+1)]^2
大功告成！
立方和公式推導完畢
1^3+2^3+3^3+......+N^3=1/4[N(N+1)]^2