九年級上數學定理知識點總結
第一章 證明(二)
等腰三角形的“三線合一”：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。
等邊三角形是特殊的等腰三角形，作一條等邊三角形的三線合一線，將等邊三角形分成兩個全等的直角三角形，其中一個銳角等於30&rd;，這它所對的直角邊必然等於斜邊的一半。
有一個角等於60&rd;的等腰三角形是等邊三角形。
如果知道一個三角形為直角三角形首先要想的定理有：
①勾股定理： （注意區分斜邊與直角邊）
②在直角三角形中，如有一個內角等於30&rd;，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半
③在直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半（此定理將在第三章出現）
垂直平分線是垂直於一條線段並且平分這條線段的直線。（注意著重號的意義）
<直線與射線有垂線，但無垂直平分線>
線段垂直平分線上的點到這一條線段兩個端點距離相等。
線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。
三角形的三邊的垂直平分線交於一點，並且這個點到三個頂點的距離相等。（如圖1所示，AO=BO=CO）
角平分線上的點到角兩邊的距離相等。
角平分線逆定理：在角內部的，如果一點到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上。
角平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合。
三角形三條角平分線交於一點，並且交點到三邊距離相等，交點即為三角形的內心。
(如圖2所示，OD=OE=OF)
第二章 一元二次方程
只含有一個未知數的整式方程，且都可以化為 （a、b、c為常數，a≠0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。
把 （a、b、c為常數，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式，a為二次項係數；b為一次項係數；c為常數項。
解一元二次方程的方法：①配方法 <即將其變為>
②公式法 （注意在找abc時須先把方程化為一般形式）
③分解因式法 把方程的一邊變成0，另一邊變成兩個一次因式的乘積來求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）
配方法解一元二次方程的基本步驟：①把方程化成一元二次方程的一般形式；
②將二次項係數化成1；
③把常數項移到方程的右邊；
④兩邊加上一次項係數的一半的平方；
⑤把方程轉化成 的形式；
⑥兩邊開方求其根。
根與係數的關係：當b2-4ac>0時，方程有兩個不等的實數根；
當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數根；
當b2-4ac<0時，方程無實數根。
如果一元二次方程 的兩根分別為x1、x2，則有： 。
一元二次方程的根與係數的關係的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根x1、x2的對稱式的值，特別注意以下公式：
① ② ③
④ ⑤
⑥ ⑦其他能用 或 表達的代數式。
（3）已知方程的兩根x1、x2，可以構造一元二次方程：
（4）已知兩數x1、x2的和與積，求此兩數的問題，可以轉化為求一元二次方程 的根
在利用方程來解應用題時，主要分為兩個步驟：①設未知數（在設未知數時，大多數情況只要設問題為x；但也有時也須根據已知條件及等量關係等諸多方面考慮）；②尋找等量關係（一般地，題目中會含有一表述等量關係的句子，只須找到此句話即可根據其列出方程）。
處理問題的過程可以進一步概括為：
第三章 證明（三）
平行四邊的定義：兩線對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點連成的線段叫做它的對角線。
平行四邊形的性質：平行四邊形的對邊相等,對角相等,對角線互相平分。
平行四邊形的判別方法：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。
兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點到另一條直線的距離相等。這個距離稱為平行線之間的距離。
菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
菱形的性質：具有平行四邊形的性質,且四條邊都相等,兩條對角線互相垂直平分,每一條對角線平分一組對角。
菱形是軸對稱圖形，每條對角線所在的直線都是對稱軸。
菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
四條邊都相等的四邊形是菱形。
矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。
矩形的性質：具有平行四邊形的性質，且對角線相等，四個角都是直角。（矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）
矩形的判定：有一個內角是直角的平行四邊形叫矩形(根據定義)。
對角線相等的平行四邊形是矩形。
四個角都相等的四邊形是矩形。
推論：直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。
正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。（正方形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸）
正方形常用的判定：有一個內角是直角的菱形是正方形；
鄰邊相等的矩形是正方形；
對角線相等的菱形是正方形；
對角線互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關係(如圖3所示)：
梯形定義：一組對邊平行且另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。
兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。
一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
等腰梯形的性質：等腰梯形同一底上的'兩個內角相等，對角線相等。
同一底上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形。
三角形的中位線平行於第三邊，並且等於第三邊的一半。
夾在兩條平行線間的平行線段相等。
在直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半
第四章 檢視與投影
三檢視包括：主檢視、俯檢視和左檢視。
三檢視之間要保持長對正，高平齊，寬相等。一般地，俯檢視要畫在主檢視的下方，左檢視要畫在正檢視的右邊。
主檢視：基本可認為從物體正面視得的圖象
俯檢視：基本可認為從物體上面視得的圖象
左檢視：基本可認為從物體左面視得的圖象
檢視中每一個閉合的線框都表示物體上一個表面(平面或曲面)，而相連的兩個閉合線框一定不在一個平面上。
在一個外形線框內所包括的各個小線框，一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個小的平面體（或曲面體）。
在畫檢視時，看得見的部分的輪廓線通常畫成實線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。
物體在光線的照射下，會在地面或牆壁上留下它的影子，這就是投影。
太陽光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。
探照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點出發的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影。
區分平行投影和中心投影：①觀察光源；②觀察影子。
眼睛的位置稱為視點；由視點發出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區。
從正面、上面、側面看到的圖形就是常見的正投影，是當光線與投影垂直時的投影。
①點在一個平面上的投影仍是一個點；
②線段在一個面上的投影可分為三種情況：
線段垂直於投影面時，投影為一點；
線段平行於投影面時，投影長度等於線段的實際長度；
線段傾斜於投影面時，投影長度小於線段的實際長度。
③平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：
平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實際形狀；
平面圖形和投影面垂直的情況下，其投影為一線段；
平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小於實際的形狀。
第五章 反比例函式
反比例函式的概念：一般地， （為常數，≠0）叫做反比例函式，即是x的反比例函式。
（x為自變數，為因變數，其中x不能為零）
反比例函式的等價形式：是x的反比例函式 ←→ ←→ ←→ ←→ 變數與x成反比例，比例係數為.
判斷兩個變數是否是反比例函式關係有兩種方法：①按照反比例函式的定義判斷；②看兩個變數的乘積是否為定值<即>。（通常第二種方法更適用）
反比例函式的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線
反比例函式的畫法的注意事項：①反比例函式的圖象不是直線，所“兩點法”是不能畫的；
②選取的點越多畫的圖越準確；
③畫圖注意其美觀性（對稱性、延伸特徵）。
反比例函式性質：
①當>0時，雙曲線的兩支分別位於一、三象限；在每個象限內，隨x的增大而減小；
②當<0時，雙曲線的兩支分別位於二、四象限；在每個象限內，隨x的增大而增大；
③雙曲線的兩支會無限接近座標軸（x軸和軸），但不會與座標軸相交。
反比例函式圖象的幾何特徵:(如圖4所示)
點P(x,)在雙曲線上都有
第六章 頻率與機率
在頻率分佈表裡，落在各小組內的資料的個數叫做頻數；
每一小組的頻數與資料總數的比值叫做這一小組的頻率； 即：
在頻率分佈直方圖中，由於各個小長方形的面積等於相應各組的頻率，而各組頻率的和等於1。因此，各個小長方形的面積的和等於1。
頻率分佈表和頻率分佈直方圖是一組資料的頻率分佈的兩種不同表示形式，前者準確，後者直觀。
用一件事件發生的頻率來估計這一件事件發生的機率。
可用列表的方法求出機率，但此方法不太適用較複雜情況。
假設布袋內有個黑球，透過多次試驗，我們可以估計出布袋內隨機摸出一球，它為白球的機率；
要估算池塘裡有多少條魚，我們可先從池塘裡捉上100條魚做記號，再放回池塘，之後再從池塘中捉上200條魚，如果其中有10條魚是有標記的，再設池塘共有x條魚，則可依照 估算出魚的條數。（注意估算出來的資料不是確切的，所以應謂之“約是XX”）
生活中存在大量的不確定事件，機率是描述不確定現象的數學模型，它能準確地衡量出事件發生的可能性的大小，並不表示一定會發生。