完全平方公式數學教案
1．能根據多項式的乘法推匯出完全平方公式；(重點)
2．理解並掌握完全平方公式，並能進行計算．(重點、難點)
一、情境匯入
計算：
(1)(x＋1)2; (2)(x－1)2；
(3)(a＋b)2; (4)(a－b)2.
由上述計算，你發現了什麼結論？
二、合作探究
探究點：完全平方公式
【型別一】 直接運用完全平方公式進行計算
利用完全平方公式計算：
(1)(5－a)2；
(2)(－3－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
解析：直接運用完全平方公式進行計算即可．
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3－4n)2＝92＋24n＋16n2；
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
方法總結：完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.可巧記為“首平方，末平方，首末兩倍中間放”．
變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第12題
【型別二】 構造完全平方式
如果36x2＋(＋1)x＋252是一個完全平方式，求的值．
解析：先根據兩平方項確定出這兩個數，再根據完全平方公式確定的值．
解：∵36x2＋(＋1)x＋252＝(6x)2＋(＋1)x＋(5)2，∴(＋1)x＝±26x5，∴＋1＝±60，∴＝59或－61.
方法總結：兩數的平方和加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解．
變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第4題
【型別三】 運用完全平方公式進行簡便計算
利用完全平方公式計算：
(1)992; (2)1022.
解析：(1)把99寫成(100－1)的形式，然後利用完全平方公式展開計算．(2)可把102分成100＋2，然後根據完全平方公式計算．
解：(1)992＝(100－1)2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801；
(2)1022＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋4＝10404.
方法總結：利用完全平方公式計算一個數的平方時，先把這個數寫成整十或整百的數與另一個數的和或差，然後根據完全平方公式展開計算．
變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第13題
【型別四】 靈活運用完全平方公式求代數式的值
若(x＋)2＝9，且(x－)2＝1.
(1)求1x2＋12的值；
(2)求(x2＋1)(2＋1)的值．
解析：(1)先去括號，再整體代入即可求出答案；(2)先變形，再整體代入，即可求出答案．
解：(1)∵(x＋)2＝9，(x－)2＝1，∴x2＋2x＋2＝9，x2－2x＋2＝1，4x＝9－1＝8，∴x＝2，∴1x2＋12＝x2＋2x22＝（x＋）2－2xx22＝9－2×222＝54；
(2)∵(x＋)2＝9，x＝2，∴(x2＋1)(2＋1)＝x22＋2＋x2＋1＝x22＋(x＋)2－2x＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.
方法總結：所求的展開式中都含有x或x＋時，我們可以把它們看作一個整體代入到需要求值的代數式中，整體求解．
變式訓練：見《學練優》本課時練習“課後鞏固提升”第9題
【型別五】 完全平方公式的幾何背景
我們已經接觸了很多代數恆等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數恆等式．例如圖甲可以用來解釋(a＋b)2－(a－b)2＝4ab.那麼透過圖乙面積的計算，驗證了一個恆等式，此等式是( )
A．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)(a＋2b)＝a2＋ab－2b2
C．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
D．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
解析：空白部分的面積為(a－b)2，還可以表示為a2－2ab＋b2，所以，此等式是(a－b)2＝a2－2ab＋b2.故選C.
方法總結：通過幾何圖形面積之間的數量關係對完全平方公式做出幾何解釋．
變式訓練：見《學練優》本課時練習“課堂達標訓練”第7題
【型別六】 與完全平方公式有關的探究問題
下表為楊輝三角係數表，它的作用是指導讀者按規律寫出形如(a＋b)n(n為正整數)展開式的係數，請你仔細觀察下表中的規律，填出(a＋b)6展開式中所缺的係數．
(a＋b)1＝a＋b，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
則(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.
解析：由(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3可得(a＋b)n的各項展開式的係數除首尾兩項都是1外，其餘各項係數都等於(a＋b)n－1的相鄰兩個係數的和，由此可得(a＋b)4的`各項係數依次為1、4、6、4、1；(a＋b)5的各項係數依次為1、5、10、10、5、1；因此(a＋b)6的係數分別為1、6、15、20、15、6、1，故填20.
方法總結：對於規律探究題，讀懂題意並根據所給的式子尋找規律，是快速解題的關鍵．
變式訓練：見《學練優》本課時練習“課後鞏固提升”第10題
三、板書設計
1．完全平方公式
兩個數的和(或差)的平方，等於這兩個數的平方和加(或減)這兩個數乘積的2倍．
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．完全平方公式的運用
本節課透過多項式乘法推匯出完全平方公式，讓學生自己總結出完全平方公式的特徵，注意不要出現如下錯誤：(a＋b)2＝a2＋b2，(a－b)2＝a2－b2.為幫助學生記憶完全平方公式，可採用如下口訣：首平方，尾平方，乘積兩倍在中央．教學中，教師可透過判斷正誤等習題強化學生對完全平方公式的理解記憶。