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七年級數學下冊《因式分解》知識點總結

七年級數學下冊《因式分解》知識點總結

第三章 因式分解

1。因式分解

定義:把一個多項式化成幾個整式乘積的形式,這種變形叫因式分解。 即:多項式幾個整式的積 例:axbx

13131

x(ab) 3

因式分解是對多項式進行的一種恆等變形,是整式乘法的逆過程。 2。因式分解的方法:

(1)提公因式法:

①定義:如果多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提到括號外面,將多項式寫成因式乘積的形式,這個變形就是提公因式法分解因式。

公因式:多項式的各項都含有的相同的因式。公因式可以是一個數字或字母,也可以是一個單項式或多項式。

係數——取各項係數的最大公約數

字母——取各項都含有的字母

指數——取相同字母的最低次冪

例:12a3b3c8a3b2c36a4b2c2的公因式是

解析:從多項式的係數和字母兩部分來考慮,係數部分分別是12、—8、6,它們的最大公約數為2;字母部3232分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式abc,故多項式的公因式是2abc。

②提公因式的步驟 第一步:找出公因式;

第二步:提公因式並確定另一個因式,提公因式時,可用原多項式除以公因式,所得商即是提公因式後剩下的另一個因式。

注意:提取公因式後,對另一個因式要注意整理並化簡,務必使因式最簡。多項式中第一項有負號的,要先提取符號。

例1:把12ab18ab24ab分解因式。

解析:本題的各項係數的最大公約數是6,相同字母的最低次冪是ab,故公因式為6ab。

解:12ab18ab24ab

6ab(2a3b4a2b2)

例2:把多項式3(x4)x(4x)分解因式

解析:由於4x(x4),多項式3(x4)x(4x)可以變形為3(x4)x(x4),我們可以發現多項

式各項都含有公因式(x4),所以我們可以提取公因式(x4)後,再將多項式寫成積的形式。 解:3(x4)x(4x) =3(x4)x(x4) =(3x)(x4)

例3:把多項式x22x分解因式

解:x22x=(x22x)x(x2) (2)運用公式法

定義:把乘法公式反過來用,就可以用來把某些多項式分解因式,這種分解因式的方法叫做運用公式法。

a。逆用平方差公式:a2b2(ab)(ab)

b。逆用完全平方公式:a22abb2(ab)2

c。逆用立方和公式:ab(ab)(aabb(拓展))

d。逆用立方差公式:a3b3(ab)(a2abb2(拓展))

注意:①公式中的字母可代表一個數、一個單項式或一個多項式。

②選擇使用公式的方法:主要從項數上看,若多項式是二項式可考慮平方差公式;若多項式是三項式,可考慮完全平方公式。

例1:因式分解a214a49

解:a14a49=(a7)2

例2:因式分解a2a(bc)(bc) 解:a2a(bc)(bc)=(abc) (3)分組分解法(拓展)

①將多項式分組後能提公因式進行因式分解; 例:把多項式abab1分解因式

解:abab1=(aba)(b1)=a(b1)(b1)(a1)(b1) ②將多項式分組後能運用公式進行因式分解。

例:將多項式a2ab1b因式分解

解:a2ab1b

=(a2abb)1(ab)1(ab1)(ab1)

2x (4)十字相乘法(形如(pq)xpq(xp)(xq)形式的多項式,可以考慮運用此種方法)

方法:常數項拆成兩個因數p和q,這兩數的和pq為一次項係數

x2(pq)xpq

x2(pq)xpq(xp)(xq)

例:分解因式x2x30 分解因式x252x100 補充點詳解 補充點詳解

我們可以將—30分解成p×q的形式, 我們可以將100分解成p×q的形式, 使p+q=—1, p×q=—30,我們就有p=—6, 使p+q=52, p×q=100,我們就有p=2, q=5或q=—6,p=5。 q=50或q=2,p=50。

所以將多項式x2(pq)xpq可以分 所以將多項式x2(pq)xpq可以分 解為(xp)(xq) 解為(xp)(xq)

x

x5

x2

—6

x50

x2x30(x6)(x5)

3。因式分解的一般步驟:

x252x100(x50)(x2)

如果多項式有公因式就先提公因式,沒有公因式的`多項式就考慮運用公式法;若是四項或四項以上的多項式,通常採用分組分解法,最後運用十字相乘法分解因式。因此,可以概括為:“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。

注意:因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止,否則就是不完全的因式分解,若題目沒有明

確指出在哪個範圍內因式分解,應該是指在有理數範圍內因式分解,因此分解因式的結果,必須是幾個整式的積的形式。 

一、 例題解析

提公因式法

提取公因式:如果多項式的各項有公因式,一般要將公因式提到括號外面。 確定公因式的方法:

係數——取多項式各項係數的最大公約數;

字母(或多項式因式)——取各項都含有的字母(或多項式因式)的最低次冪。 【例 1】 分解因式:

⑴15aab

2n1

10abba(n為正整數)

2n

⑵4a2n1b6an2b1(、n為大於1的自然數)

【鞏固】 分解因式: (x)2n1(xz)(x)2n2(x)2n(z),n為正整數。

【例 2】 先化簡再求值,xxxx2,其中x2,2

求代數式的值:(3x2)2(2x1)(3x2)(2x1)2x(2x1)(23x),其中x。

3

1. 2

22221

【例 3】 已知:bca2,求a(abc)b(cab)c(2b2c2a)的值。

33333

公式法

平方差公式:a2b2(ab)(ab)

①公式左邊形式上是一個二項式,且兩項的符號相反; ②每一項都可以化成某個數或式的平方形式;

③右邊是這兩個數或式的和與它們差的積,相當於兩個一次二項式的積。 完全平方公式:a22abb2(ab)2 a22abb2(ab)2 ①左邊相當於一個二次三項式;

②左邊首末兩項符號相同且均能寫成某個數或式的完全平方式;

分解因式:x3(xz)(za)x2z(zx)x2(zx)(xza)。

③左邊中間一項是這兩個數或式的積的2倍,符號可正可負;

④右邊是這兩個數或式的和(或差)的完全平方,其和或差由左邊中間一項的符號決定。 一些需要了解的公式:

a3b3(ab)(a2abb2) a3b3(ab)(a2abb2) (ab)3a33a2b3ab2b3 (ab)3a33a2b3ab2b3