正比例反比例課堂實錄
在六年級下的數學課本當中，正比例與反比例是相對比較難的一塊內容，很多同學在學校上了課之後依然還是會覺得一片空白，尤其是對於正反比例的判斷和用正反比例解決應用題無從下手。以下是正比例反比例課堂實錄，歡迎閱讀。
課前交流：
師：大家知道這個詞什麼意思嗎?(板書：溫故而知新)
生：複習舊知識可以獲得新知識。
師：說得真好。到目前為止，我們的新課是不是都已經學完了?
生：是。
師：我們已經六年級了，馬上就要小學畢業，迎接中考(小學畢業考試)，所以，我們需要把小學學習過所有知識系統地複習一下。在複習的過程中，我們一定要認真思考，有一些新的發現。
【反思：我以“溫故而知新”為話題和學生進行課前交流，目的之一是想讓學生明白，在複習舊知識時，一定要學會創造性地思考，獲取一些有價值的、新的知識或經驗;目的之二是想讓學生在課堂上能積極地思考，提一些新的想法或問題。可上完課之後，我感覺，目的好像並沒有達到。】
談話匯入：
師：老師先在黑板上寫兩個算式，大家猜猜，我們今天要複習什麼。
生：一個是正比例和一個是反比例
【反思：學生提到正比例和反比例時，我應該馬上小結：今天我們要複習的內容就是“正比例和反比例”，然後迅速地板書課題《正比例的反比例複習》，然而，由於自己平時沒養成板書課題的習慣，加上剛開始上課有點緊張，我竟然給忘記了，後來逐步進入了角色，關注點放到了學生身上，始終沒再想起板書課題，這是本節課最不原諒的一個失誤。這也是“習慣成自然”惹的禍。】
師：有沒有疑問?
生：……
師：在談到正比例和反比例時還提到一個詞，是什麼?
生： 比 等於 ， 一定。
師：對，這裡邊必須有一個固定的量，板書： = (一定)， × = (一定) 比
師：這裡的 和 表示什麼?
生：兩種相關聯的量。
直覺感知：
師：對，這裡的 和 表示兩種相關聯的量。來，判斷定一下，哪個表示的是正比例關係?
生：第一個。
師：仔細想一下，成正比例關係的兩種，它們之間到底是一種什麼關係?
生：兩種相關聯的的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，它們的比值一定。
師：呵呵，你概念記得非常準確。但是，我們還要深入地想一想，看看有沒有什麼新的發現?
生：……
師：設想一下，如果 發生變化了， 會怎麼樣變化?
生：也跟著變化。
師：我想問的是，大家有沒有一種直覺，比如， 發生變化了， 有什麼變化?大家有沒有新的想法?
生：……
師：其實用到一點我們學過知識，大家就會有新的發現。
師：大家會解方程嗎?
生：會。
師：解方程用的是?
生：等式的性質。
師：當方程兩邊都……?
生：都乘或除以相同的數，等號兩邊還相等。
師：對，如果我們讓等式兩邊都乘X呢?
生：兩邊還相等。
師：兩邊都乖 ，變成了什麼?
生： = 。
師板書： = ( 一定)。
師：現在來想一下，如果 擴大的話， 會發生什麼變化?
生：……
師：請大家聯絡實際生活想一下，哪兩種量成正比例關係?
生：單價，數量和總價，比值一定。
師：能不能用數量關係表示出來?
生：總價=單價×數量
生：……
師：觀察，買的數量在逐漸怎樣?總價呢?
生：買的數量越多，總價越多。
師：為什麼會出現這種情況呢?我們還回到這個關係式上來看。
師：回想我們學過的因數和倍數的知識，想一想X和Y是什麼關係?
生：Y是X和K的倍數，X和K是Y的因數。
師：在研究倍數和因數的時候，都是考慮在整數的範圍內，這裡我們可以盜用一下，就說Y是X的K倍。
師：大家來試想一下，如果X是1的話，Y就是1K，如果X是2的話，Y就是2K，如果X是3，Y就是3K……所以Y就隨著X的……。
生：擴大而擴大。
【反思：設計這個環節，我的目的是想讓學生對正比例函式有一種比較直觀的感受，但感覺效果不是太好，全是由老師在牽著學生的鼻子走，學生好像是明白了Y為什麼是隨著X的擴大而擴大，但印象肯定不是很深刻。另外，應該強調，成正比例關係的兩種量，它們的比值一定，我卻一味地讓學生在找感覺，卻忘了根本。】
師：現在，我們來看反比例的關係式，我們還利用等式的性質，來把它進行一個變形，把Y留到這兒，Y等於什麼?
生：Y等於K比X。(師板書：y = )
師強調：讓等式兩邊都……
生：除以X。
師：來想一想，這裡的兩個量Y與X，它們的變化關係。
生：……
師：我們也來舉個例子。哪兩種量成反比例關係?
生：路程一定，速度和時間。
(師板書：速度×時間=路程)
師：演變一下：時間= (時間一定)
師：還回到我們的生活中來想，從我們家到學校，這叫什麼?
生：路程
師：這會變不會?
生：不會。
師：如果你步行到校，或騎腳踏車到校，或坐電動車到，或坐小汽車到校……
生：速度
師：速度會怎麼樣?
生：越來越快。
師：那你到校的時間呢?
生：越來越短。
師：成反比例的兩種量，它們的關係，你現在有什麼感覺?
生：……
師：一種量擴大……
生：另一種量縮小。
師：說明它是一種相反的關係，所以叫反比例。
師：大家回到我們的課本里邊，再來感受一下翻到39頁，把39頁到43頁的內容再認真默讀一下，看你能不能找到正比例和反比例的兩種量有什麼關係?
(學生獨立閱讀課本)
【反思：設計這個環節的目的也是想讓學生對反比例函式有一種比較直觀的感受，知道成反比例關係的兩種量，一種量擴大，另一種量反而縮小。但是，我還是犯了和上個環節同樣的錯誤——只重表象忽略了本質，把“積一定”才是反比例的本質特徵淡化處理了。】
再挖教材：
師：先看例1。例1給我們介紹了哪兩種相關聯的量?
生：(水的)高度和體積。
師：杯子是相同的，高度和體積的變化有什麼關係?
生：……
師：高度越來越怎麼樣?
生：高。
師：體積呢?
生：越來越大。
師：但是，不變的是什麼?
生：底面積。
師：這裡，水的高度和體積成……
生：正比例關係。
【反思：這裡如果追問一句，水的高度和體積為什麼成正比例關係，引導學生說說表象(一種量擴大，另一種也隨著擴大)，再說說本質(它們的比值——底面積不變)，那麼，學生對正比例的認識也就更深刻了。這說明，自己還是不善於捕捉教育的最佳時機。】
師：看例2。正比例關係的'兩種量，要是用影象表示出來，我們會發現，是一條……
生：直線。經過原點的直線(學生的課本記有這樣一句話，應該是新授課上老師讓學生記下的。)
師：我們來看第二個問題。不計算，根據影象來判斷，如果水的高度是7釐米的話，水的體積是多少?能找到不能?
生：……
師：拿筆，在圖中點出這個位置來。
生：體積是175。
師：來驗證一下。剛才，體積和高度的比值是多少?(板書：體積/高度=25。)當高度是7時，體積是175，175÷7=25。沒有問題。(和學生一起口算驗證。)
師：225立方厘米的水，高度是多少?找到了沒?
生：9釐米。
師：自己驗證一下。看從圖上找到的結果和計算的結果是不是一樣。
師：水的體積在哪兒可以找到呀?
生：……
師：橫軸表示的是……
生：水的高度。
師：豎軸表示的是……
生：水的體積。
師：它們的交叉點在黑色的斜線上。先在水平方向上找到225，和斜線相交，找到這個點，然後往下走，看看，那兒是多少?
生：9
師：對，(225立方厘米)水的高度就是9釐米。
師：計算驗證一下。(略)
【反思：在巡視的過程中，我發現有不少學生竟然不會看圖，不知道在哪兒點點。於是，就臨時增加了一個認圖的教學環節，讓學生學會利用正比例函式圖，直接找水的體積與高度，自我感覺很有必要。但是，我認為，這應該是新授課就應該讓學生學習並掌握的，而不應該是由我(在複習時)來教的。所以，我建議，教六年級數學的老師們，應該認真研析教材，把握好教材中所涉及這些細節問題。】
師：看例3。例3裡邊告訴我們什麼一定?
生：體積一定。
師：同樣體積的水，倒進不同的杯子裡，水的高度會隨著什麼發生變化?
生：底面積。
師：底面積越來越怎麼樣?高度呢?
生：底面積越來越來大，高度越來越小。
師：對，一種量擴大，另一種量隨著縮小，這就是反比例最明顯的特徵。
【反思：透過閱讀課本例題，我引領學生再次從直覺感知了正比例和反比例的外顯的，還是忽略了它們的本質特徵。這一點充分說明，備課不備教學目標，或教學目標定位錯誤都是根本性的錯誤。】
強化認知：
師：請大家把數學書合起來，想一想，在我們的生活中，我們學過的哪些量成正比例關係或反比例關係，每種關係寫兩個，黑板上舉過的例子不要再寫了。
(生獨立思考完成，教師巡視，並挑選幾個有代表性的個案進行交流)
師：(投影展示一個學生的練習)每排人數×排數=總人數。大家有什麼疑問?
生：最後那個總人數是一定的。
師：對，你寫的這個例子是正比例還是反比例，關鍵是少了一個定量，如果，我們規定總人數一定，那麼，另外兩種量就是……
生：反比例。
師：如果排數一定，那麼另外兩種量呢?
生：正比例。
師：看看這個同學寫的清楚不清楚?讀一讀。
生：π 一定，圓的周長和直徑。
師：他前面標有(正比例三個字)，圓的周長和直徑是什麼關係?
生：正比例關係。
師：到底是不是正比例關係?
生：是。
師：來，找個同學說說理由，你為什麼判定它倆個是正比例關係。
生：……
師：π 是圓周長和直徑的什麼?
生：比值。
師：比值一定，說明圓周長和直徑成……
生：正比例。
師：看第二個：工作效率一定，工作總量和時間。
生：成正比例關係。
師：他舉得這兩個例子都是成正比例關係，但是都沒有說清楚。所以，你在寫的時候，應該說清楚，誰是一定的，誰和誰成什麼關係。好!抓緊時間把你的補充完整。
再次彙報：
師：修改完之後，說一說，大家幫忙判定一下，他找的兩種量是不是成正比例或反比例關係。
生：長方形的面積一定，長和寬成反比例。
師：我找個同學來複述一下。
生：長方形的面積一定，長和寬成反比例。(提醒大家認真聽)
師：長和寬什麼關係?
生：長乘寬等於面積。
師：對，面積一定，說明乘積一定，所以長和寬成反比例。
師：誰還想與大家分享?或者你有困惑的，讓大家來幫你判定一下。
生：圓柱體的體積等於底面積乘高。
師：你想讓我們判斷誰和誰呢?
生：……
師：他給了我們一個關係式，反比例：圓柱體積=底面積乘高(板書)當誰一定時，誰和誰成反比例?
生：圓柱體積一定，底面積和高成反比例。
師：對，他如果在這兒(圓柱體下面)標個一定，那麼……
生：底面積和高成反比例。
師：如果，我在高的下邊標個一定，那麼，圓柱體積和底面積成……
生：正比例。
課堂檢測：
師：老師給大家準備了幾道練習題，一起來思考一下。(出示小黑板)判斷下面各題的兩種量是否成正比例或反比例關係，並說明理由。
師：第1小題，看不清楚的同學請認真聽。互為倒數的兩個數。
生：成反比例。
師：為什麼?
生：互為倒數的兩個數，它們的乘積一定。
師：是多少?
生：1
師：什麼叫做互為倒數?
生：乘積是1的兩個數互為倒數。
師：乘積是1，說明乘積是一定的，所以，互為倒數的兩個數成反比例關係。
【反思：這裡應該追問，一個數越大，它的倒數會怎麼樣?讓學生再次感知反比例，並強化對倒數認識。】
師：第2小題。小新跳的高度和他的身高。
生：不成比例。
師：解釋一下。
生：小新跳的高度和他的身高，沒有關聯。
師：第3小題，正方形的面積和它的邊長。
生：正比例。
師：有沒有不同意見?
生：反比例……邊長都一樣……無法判定……
師：我們還是回到關係式上來判斷吧。正方形的面積公式是什麼?
生：邊長乘邊長。
師：我們用字母來表示吧。(板書：S= a×a)要想判斷S和a成什麼關係，我們要變一下(板書：S/a=a)
師：現在來判斷S與a關係，你有結果了嗎?
生：……
師：兩種相關聯的量是不是成正比例關係，最關鍵的一點是……(在：“K一定”下面畫上曲線)
師：(指著S/a=a)這邊有沒有一定的量?
生：沒有。
師：a是變數，S也是變數，這裡沒有固定的量，所以是無法判斷的。
師：懂了沒有?
生：懂了。
師：要相判斷兩種量成正比例還是反比例關係，這兩個關係很重要(邊講邊圈住兩個關係式)，並且要找到定量，然後我們再來判斷。
師：第4小題。書的總頁一定，已經看的頁數和剩下的頁數。
生：不成比例。
師：誰來解釋一下。
生：它們是和一定，不是積一定，也不是比值一定。
師：說得很到位。看第5小題。分數的大小一定，分子和分母。
生：……
師：這個問題難度大了些，下去以後大家好好在一起討論一下，或者好好請教一下你們的老師，這節課，我們就上到這兒，下課。