高二下學期期中考試數學試題
高二下學期期中考試數學試題
一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分）.
1．若方程C： （ 是常數）則下列結論正確的是（ ）
A． ，方程C表示橢圓 w B． ，方程C表示橢圓
C． ，方程C表示雙曲線 D． ，方程C表示拋物線
2．拋物線 的準線方程是（ ）
A． B． C． D．
3．P: ,Q: ，則“ P”是“ Q”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．向量 ，與其共線且滿足 的向量 是（ ）
A． B．（4，－2，4）
C ．（－4，2，－4） D．（2，－3，4）
5．如圖，空間四邊形ABCD中，M、G分別是BC、CD的中點，則 等於（ ）
A． B． C． D．
6、空間直角座標系中，O為座標原點，已知兩點A（3，1，0），B（-1，3，0），若點C滿足 =α +β ，其中α，β R，α+β=1，則點C的軌跡為（ ）
A．平面B．直線C．圓D．線段
7、橢圓 上一點M到焦點 的距離為2， 是 的中點，則 等於（ ）
A．2B．4C．6D．
8. 已知拋物線 ： 的焦點為 ，直線 與 交於 ， 兩點，則 （ ）
A． B． C． D．
9．如圖 ，正方體 的稜長為2， 點 是
平面 上的動點，點 在稜 上， 且 ，
且動點 到直線 的距離與點 到點 的距離的
平方差為4，則動點 的軌跡是（ ）
A．拋物線B．圓 C．雙曲線D．直線
10．過雙曲線M： 的左頂點A作斜率為1的直線 ，若 與雙曲線M的兩條漸近線分別相關於點B、C，且｜AB｜＝｜BC｜，則雙曲線M的離心率是（ ）
A. B. C. D.
二、填空題：（本大題共5小題，每小題5分，共25分）
11、雙曲線兩條漸近線的夾角為60，該雙曲線的離心率為 .
12、如果橢圓 的弦被點（4，2）平分，則這條弦所在直線方程是 .
13、已知當拋物線型拱橋的頂點距水面2米時，量得水面寬8米。當水面升高1米後，水面寬度是________米.
14．雙曲線 的左、右焦點分別為F1，F2，在左支上過點F1的弦AB的長為5，那麼△ABF2的周長是 .
15．如圖，正方體 中， ， 分別為稜 ， 上的點．已知下列判斷：① 平面 ；② 在側
面 上的正投影是面積為定值的三角形；
③在平面 內總存在與平面 平行的直線；
④平面 與平面 所成的二面角（銳角）
的大小與點 的位置有關，與點 的位置無關．
其中正確結論的序號為__________（寫出所有正確結論的序號）.
三、解答題（共75分，解答題應有適當的文字說明、證明過程或演算步驟）
16．（本小題滿分12分）
設命題 ： ，命題 ： ；
如果“ 或 ”為真，“ 且 ”為假，求 的取值範圍。
17．（本小題滿分12分）
如圖，直二面角 中，四邊形 是邊長為 的正方形， ， 為 上的.點，且 ⊥平面 .
（1）求證： ⊥平面 ；
（2）求點 到平面 的 距離.
18．（本小題滿分12分）已知橢圓x22＋y2＝1及點B（0，－2），過左焦點F1與B的直線交橢圓於C、D兩點，F2為其右 焦點，求△CDF2的面積．
19.（本小題滿分12分）如圖，在底面是正方形的四稜錐 中， 平面 ，
，點 在 上，且 .
（1）求二面角 的餘弦值；
（2） 在稜 上是否存在一點 ，使得 平面 .
20．（本小題滿分13分）已知點A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在拋物線 上，
△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合（如圖）
（1）寫出該拋物線的方程和焦點F的座標；
（2）求線段BC中點M的座標；
（3）求BC所在直線的方程.
21．（本小題滿分14分）已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的離心率為 ， 為其
焦點，一直線過點 與橢圓相交於 兩點，且 的最大面積為 ，求橢圓的方程.
安陸二中 航天中學 曲陽高中 孝昌二中 應城二中 英才學校
17、解：（1） 平面ACE.
∵二面角D—AB—E為直二面角，且 ， 平面ABE.
又∵ ，BF 平面BC E，CB 平面BCE，
------------4分
設平面AEC的一個法向量為 ，
則 解得 令 得 是平面AEC的一個法向量. ∵AD//z軸，AD=2，∴ ，
∴點D到平面ACE的距離
---------12分
18、解:F1(－1,0 )
∴直線CD方程為y＝－2x－2，由y＝－2x－2x22＋y2＝1得9x2＋16x＋6＝0，而Δ>0，
設C(x1，y1)，D(x2，y2)，則x1＋x2＝－169x1x2＝23 ----------4分
|CD|＝1＋k2x1＋x22－4x1x2，
∴|CD|＝51692－4×23＝1092. ---------8分
F2到直線DC的距離d＝455，
故S△CDF2＝12|CD|d＝4910. --------12分
19、解：（1）以 為座標原點，直線 ， ， 分別
為 軸， 軸， 軸，如圖建立空間直角座標系，
則 ， ， --------2分
∴ ， .
∵ 平面
∴ 為平面 的法向量，
， -----4分
設平面 的一個法向量為 ，
由 ，且 ，
得
令 ，則 ， ，
所以 ------ 6分
所以 ，
即所求二面角的餘弦值為 . ------ 8分
（2）設 ，則 ，
∵ ， ∴
，
若 平面 ，則 ，即 ，
，解得 ，
所以存在滿足題意的點，當 是稜 的中點時， 平面 . -----12分
21、解：由 ＝ 得
所以橢圓方程設為 ------2分
設直 線 ，由 得：
設 ，則 是方程的兩個根
由韋達定理得 -------5分
所以 -------7分
＝ -------12分
當且僅當 時，即 軸時取等號
所以，所求橢圓方程為 -------14分