什麼是自然數-自然數的定義分類及應用
自然數(natural number)，可以是指正整數(1, 2, 3, 4)，亦可以是非負整數(0, 1, 2, 3, 4)。在數論通常用前者，而集合論和計算機科學則多數使用後者。
基本定義
序數理論是義大利數學家G.皮亞諾提出來的。他總結了自然數的性質，用公理法給出自然數的如下定義：
自然數集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個元素，記作1。②N中每一個元素都能在N中找到一個元素作為它的後繼者。③1不是任何元素的後繼者。④不同元素有不同的後繼者。⑤(歸納公理)N的任一子集M，如果1∈M，並且只要x在M中就能推出x的後繼者也在M中，那麼M=N。
自然數，即0、1、2、3、4……。
從歷史上看，國內外數學界對於0是不是自然數歷來有兩種觀點：一種認為0是自然數，另一種認為0不是自然數。建國以來，我國的中小學教材一直規定自然數不包括0。國外的數學界大部分都規定0是自然數。為了方便於國際交流，1993年頒佈的《中華人民共和國國家標準》(GB 3100-3102-93)《量和單位》(11-2.9)第311頁，規定自然數包括0。所以在近幾年進行的中小學數學教材修訂中，教材研究編寫人員根據上述國家標準進行了修改。即一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數。“0”是否包括在自然數之記憶體在爭議，有人認為自然數為正整數，即從1開始算起;而也有人認為自然數為非負整數，即從0開始算起。關於這個問題尚無一致意見。不過，在數論中，多采用前者;在集合論中，則多采用後者。中小學教材中規定0為自然數。
一般概念
自然數是一切等價有限集合共同特徵的標記。
注：自然數就是我們常說的正整數和0。整數包括自然數，所以自然數一定是整數，且一定是非負整數。
但相減和 相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中並不總是成立的。用以計量事物的件數或表示事物次序的數 。 即用數碼0，1，2，3，4，……所表示的數 。表示物體個數的數叫自然數，自然數由0開始(包括0)， 一個接一個，組成一個無窮集體。自然數集有加法和乘法運算，兩個自然數相加或相乘的結果仍為自然數，也可以作減法或除法，但相減和相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中並不是總能成立的。自然數是人們認識的所有數中最基本的一類，為了使數的系統有嚴密的邏輯基礎，19世紀的數學家建立了自然數的兩種等價的理論棗自然數的序數理論和基數理論，使自然數的概念、運算和有關性質得到嚴格的論述。
(序數理論是義大利數學家G.皮亞諾提出來的。他總結了自然數的性質，用公理法給出自然數的如下定義) 自然數集N是指滿足以下條件的集合：
①N中有一個元素，記作1。
②N中每一個元素都能在 N 中找到一個元素作為它的後繼者。③ 1是0的後繼者。④0不是任何元素的後繼者。
⑤不同元素有不同的後繼者。
⑥(歸納公理)N的任一子集M，如果1∈M，並且只要x在M中就能推出x的後繼者也在M中，那麼M=N。
基數理論則把自然數定義為有限集的基數，這種理論提出，兩個可以在元素之間建立一一對應關係的有限集具有共同的數量特徵，這一特徵叫做基數 。這樣 ，所有單元素集{x}，{y}，{a}，{b}等具有同一基數 ， 記作1 。類似，凡能與兩個手指頭建立一一對應的集合，它們的基數相同，記作2，等等 。自然數的.加法 、乘法運算可以在序數或基數理論中給出定義，並且兩種理論下的運算是一致的。
自然數在日常生活中起了很大的作用，人們廣泛使用自然數。自然數是人類歷史上最早出現的數，自然數在計數和測量中有著廣泛的應用。人們還常常用自然數來給事物標號或排序，如城市的公共汽車路線，門牌號碼，郵政編碼等。
自然數是整數(自然數包括正整數和零)，但整數不全是自然數，例如：-1 -2 -3......是整數 而不是自然數。自然數是無限的。
全體非負整陣列成的集合稱為非負整數集，即自然數集。)
在數物體的時候，數出的0.1.2.3.4.5.6.7.8.9……叫自然數。自然數有數量、次序兩層含義，分為基數、序數。 基本單位：1 計數單位：個、十、百、千、萬、十萬......
總之，自然數就是指大於等於0的整數。當然，負數、小數、分數等就不算在其內了。
分類
①按能否被2整除分
可分為奇數和偶數。
1、奇 數：不能被2整除的數叫奇數。
2、偶 數：能被2整除的數叫偶數。
3、特別注意：0是偶數。(2002年國際數學協會規定,零為偶數.我國2004年也規定零為偶數。偶數可以除以2,0照樣可以，只不過，得數依然是0而已，但是不可以說它(指0)沒有縮小)。
②按因數數個數分
可分為質數、合數和1
1、質 數：只有1和它本身這兩個因數的自然數叫做質數。[質數也稱作素數]
2、合 數：除了1和它本身還有其它的因數的自然數叫做合數。
3、0，1：只有1個因數。它既不是質數也不是合數。
注：是因數不是約數。
公式
數列0，1,2,3,4,5，6,7,8,9,10,11,12,……n，稱為自然數列。
自然數列的通項公式an=n。
自然數列的前n項和Sn=n(n+1)/2。 Sn=na1+n(n-1)/2
自然數列本質上是一個等差數列，首項a1=1，公差d=1。
應用
1、自然數列在“數列”，有著最廣泛的運用，因為所有的數列中，各項的序號都組成自然數列。
任何數列的通項公式都可以看作：數列各項的數與它的序號之間固定的數量關係。
2、求n條射線可以組成多少個角時，應用了自然數列的前n項和公式
第1條射線和其它射線組成n-1個角，第2條射線跟餘下的其它射線組成n-2個角，依此類推得到式子
1+2+3+4+……+n-1=n(n-1)/2
3、求直線上有n個點，組成多少條線段時，也應該了自然數列的前n項和公式
第1個點和其它點組成n-1條線段，第2個點跟餘下的其它點組成n-2條線段，依此類推同樣可以得到式子
1+2+3+4+……+n-1=n(n-1)/2