教學案例《集合與函式概念》
一、教材分析
集合語言是現代數學的基本語言，使用集合語言，可以簡潔、準確地表達數學的一些內容．本章中只將集合作為一種語言來學習，學生將學會使用最基本的集合語言去表示有關的數學物件，發展運用數學語言進行交流的能力．
函式的學習促使學生的數學思維方式發生了重大的轉變：思維從靜止走向了運動、從運算轉向了關係．函式是高中數學的核心內容， 是高中數學課程的一個基本主線，有了這條主線就可以把數學知識編織在一起，這樣可以使我們對知識的掌握更牢固一些．函式與不等式、數列、導數、立體、解析、演算法、機率、選修中的很多專題內容有著密切的聯絡．用函式的思想去理解這些內容，是非常重要的出發點．反過來，透過這些內容的學習，加深了對函式思想的認識．函式的思想方法貫穿於高中數學課程的始終．高中數學課程中，函式有許多下位知識，如必修1第二章的冪、指、對函式數，在必修四將學習三角函式．函式是描述客觀世界變化規律的重要數學模型．
二、學情分析
1．學生的作業與試卷部分缺失，導致易錯問題分析不全面．透過佈置易錯點分析的任務，讓學生意識到保留資料的重要性．
2．學生學基本功較紮實，學習態度較端正，有一定的自主學習能力．但是沒有養成及時複習的習慣，有些內容已經淡忘．透過自主梳理知識，讓學生感受複習的必要性，培養學生良好的複習習慣．
3．在研究例4時，對分類的情況研究的不全面．為了突破這個難點，應用幾何畫板製作了課件，給學生形象、直觀的感知，體會二次函式對稱軸與所給的區間的位置關係是解決這類問題的關鍵．
三、設計思路
本節課新課中滲透的理念是：“強調過程教學，啟發思維，調動學生學習數學的積極性”．在本節課的學習過程中，教師沒有把梳理好的知識展示給學生，而是讓學生自己進行知識的梳理．一方讓學生體會到知識網路化的必要性，另一方面希望學生養成知識梳理的習慣．在本節課中不斷提出問題，採取問題驅動，引導學生積極思考，讓學生全面參與，整個教學過程尊重學生的思維方式，引導學生在“最近發展區”發現問題、解決問題．透過自主分析、交流合作，從而進行有機建構，解決問題，改變學生模仿式的學習方式．在教學過程中，滲透了特殊到一般的思想、數形結合思想、函式與方程思想．在教學過程中透過恰當的應用資訊科技，從而突破難點．
四、教學目標分析
(一)知識與技能
1．瞭解集合的含義與表示，理解集合間的基本關係，集合的基本運算．
A：能從集合間的運算分析出集合的基本關係．B：對於分類討論問題，能區分取交還是取並．
2．理解函式的定義，掌握函式的基本性質，會運用函式的圖象理解和研究函式的性質．
A：會用定義證明函式的單調性、奇偶性．B：會分析函式的單調性、奇偶性、對稱性的關係．
(二)過程與方法
1．透過學生自主知識梳理，瞭解自己學習的不足，明確知識的來龍去脈，把學習的內容網路化、系統化．
2．在解決問題的過程中，學生透過自主探究、合作交流，領悟知識的橫、縱向聯絡，體會集合與函式的本質．
(三)情感態度與價值觀
在學生自主整理知識結構的過程中，認識到材料整理的必要性，從而形成及時反思的學習習慣，獨立獲取數學知識的能力．在解決問題的過程中，學生感受到成功的喜悅，樹立學好數學的信心．在例4的解答過程中，滲透動靜結合的思想，讓學生養成理性思維的品質．
五、重難點分析
重點：掌握知識之間的聯絡，洞悉問題的考察點，能選擇合適的知識與方法解決問題．
難點：含參問題的討論，函式性質之間的關係．
六．知識梳理(約10分鐘)
提出問題
問題1：把本章的知識結構用框圖形式表示出來．
問題2：一個集合中的元素應當是確定的、互異的、無序的，你能結合具體例項說明集合的這些基本要求嗎？
問題3：類比兩個數的關係，思考兩個集合之間的基本關係．類比兩個數的運算，思考兩個集合之間的基本運算，交、並、補．
問題4：透過本章學習，你對函式概念有什麼新的認識和體會嗎？
請結合具體例項分析，表示函式的三種方法，每一種方法的特點．
問題5：分析研究函式的方向，它們之間的聯絡．
在前一次晚自習上，學生相互展示自己的結果，透過相互討論，每組提供最佳的方案．在自己的原有方案的基礎上進行補充與完善．
學生回答問題要點預設如下：
1．集合語言可以簡潔準確表達數學內容．
2．運用集合與對應進一步描述了函式的概念，與初中的函式的定義比較，突出了函式的本質函式是描述變數之間依賴關係的重要數學模型．
3．函式的表示方法主要有三種，這三種表示方法有各自的適用範圍，要根據具體情況選用．
4．研究函式的性質時，一般先從幾何直觀觀察圖象入手，然後運用自然語言描述函式的圖象特徵，最後抽象到用數學符號刻畫相應的數量特徵，也是數學學習和研究中經常使用的方法．
設計意圖：透過佈置任務，讓學生充分的認識自己在學習的過程中，哪些知識學習的不透徹．讓學生更有針對的進行復習，讓複習進行的更有效．讓學生體會到知識的橫向聯絡與縱向聯絡．透過類比初中與高中兩種函式的定義，讓學生體會到兩種函式的定義本質是一樣的．
七、易錯點分析(約3分鐘)
問題6：集合中的易錯問題，函式中的易錯問題?主要是作業、訓練、考試中出現的問題?
(任務提前佈置，由課代表彙總，並且在教學課件中體現．教師不進行修改，呈現的是原始的)
教師展示學和成果並進行點評．
對於問題6主要由學生討論分析，並回答，其他學生補充．這個過程儘量由學生來完成，教師可以適應的引導與點評．
設計意圖：讓學生學會避開命題者製造的陷阱，透過不斷的分析，讓學生了解問題出現的根源，充分暴露自己的思維，在交流與合作的過程中，改進自己的不足，加深對錯誤的認識．透過交流了解別人的錯誤，自己避免出現類似的錯誤．
八、考察點分析(約5分鐘)
問題7：分析集合中的考察點，函式中的考察點．
問題8：知識的橫縱聯絡．
學生回答問題要點預設如下：
1．集合中元素的互異性．
2．，則集合A可以是空集．
3．交集與並集的區分，即何時取交，何時取並，特別是含參的分類討論問題．
4．函式的單調性與奇偶性的證明．
5．作業與試卷中出現的問題．
6．學生分析本章的考察點，主要分析考察的知識點、思想方法等方面．
設計意圖： 讓學生了解考察點，才能知道命題者的'考察意圖，才能選擇合適的知識與思想方法來解答．例如如果試題中出現集合， 無論試題以什麼形式出現，考察點基本是集合間的基本關係、集合的運算．
九、典型問題分析
例1：設集合
（1）若，求實數的值；
（2）若，求的值；
（3）若，求的值．教師點評，同時板書．
(1)答案： 或;
(2)答案： 或;
(3)答案： ．
由學生分析問題的考察點，包括知識與數學思想．（預設有以下幾個方面）從知識點來分析，這是集合問題．考察點主要為集合的表示方法、集合中元素的特性、集合間的基本關係、集合的運算等．學生在解第1個問時，可能漏掉特殊情況．第2、3問可能會遇到一定的障礙，可以給學生時間進行充分的思考．
設計意圖：讓學生體會到分析考察點的好處，養成解題之前分析考察點的習慣．能順利的找到問題的突破口，為後續的解答掃清障礙．透過一題多問、一題多解、多題歸一，讓學生主動的形成發散思維，主動應用轉化與化歸的思想．
例2：已知函式是定義在R上的奇函式，當時，求函式的解析式．
變式：函式是偶函式
教師對生回答進行點評．並板書．
學生分析考察點、解題思路，如果不完善，其他學生補充．
學生回答問題要點預設如下：
1．考察點為函式的奇偶性與函式圖象的關係．
2．函式的奇偶性的定義．
3．轉化與化歸的思想．
法一：本題即求，函式的解析式，可先利用函式的奇偶性繪製函式的圖象，把本題轉化為二次函式的圖象與解析式的問題．
法二：本法更具有一般性，已知時，函式的解析式，要分析時的函式對應關係，即當一個數小於零時，函式值應當怎樣計算．由於函式具有奇偶性，即一個數與它的相反數的函式值之間有關係， ，所以可以研究的函式值．
設計意圖：學生在思考的過程中，體會數形結合思想．函式的奇偶性與函式的圖象的關係，可以根據奇偶性繪製函式圖象，也可以透過函式的圖象分析函式的奇偶性，兩者是相輔相承的．體會轉化與化歸的思想，把要研究的轉化為已知的．考察函式的單調性的證明，函式的奇偶性與單調性之間的關係，體會知識的縱向聯絡．體會轉化與化歸的思想、特殊與一般的數學思想，讓學生體會到問題後面隱含的本質．
例3：已知是偶函式，而且在上是減函式，判斷在上是增函式還是減函式，並證明你的判斷．
變式1：函式為奇函式
變式2：你能分析奇函式(偶函式)在對稱區間上的單調性的關係嗎?試從數形兩個方面來分析．
學生分析考察點、解題思路，如果不完善，其他學生補充．
學生回答問題要點預設如下：
1．考察點為函式的奇偶性與單調性的關係．
2．函式的單調性的定義．
3．數形結合、轉化與化歸的思想．
法一：透過函式的圖象分析．
法二：把要研究的範圍轉化為已知的範圍．
設計意圖：明確函式的性質是一個有機的整體，不是一個個知識點的簡單羅列．同時體會知識的縱向聯絡與橫向聯絡，在第二個方法中進一步感受轉化與的思想．透過兩個變式的研究過程，學生體會研究探索性問題的一般思路，即透過特殊情況分析結果，再對結果的正確性進行證明．
例4：求在區間上的最大值和最小值．
變式：在區間上的最大值是1，求的值．
教師用幾何畫板演示，二次函式對稱軸的變化對函式的最值的影響．
答案： 時，最大值是，最小值是;時，最大值是，最小值是;時，最大值是，最小值是;時，最大值是，最小值是．
變式答案：或．
學生透過直觀的演示，思考問題的考察點與解答策略．
學生回答考察點分析(預設)：
1．二次函式的圖象與性質．
2．分類與整合．
3．逆向思維．
學生回答解題思路分析（預設）：
研究二次函式的對稱軸方程與所給的區間的關係．
設計意圖：通過幾何畫板的動態性，給學生直觀的感知，從而建立最近發展區，進而突破難點．
透過對二次函式的研究，學生鞏固了上位知識函式的圖象與性質，充分體會數形結合的優勢．學生在解答變式的過程中， 體會逆向思維與正向思維的關係，體會函式與方程思想，感受到動靜結合．
十、課後小結
1． 知識網路
2． 知識的來龍去脈
3． 問題中體現的數學思想
4． 分析問題的基本思路
學生總結，教師板書．
設計意圖： 讓學生把知識竄串，形成網路，能迅速而準確的選用知識來解答問題．
十一、課後總結
鞏固所學，補充課上的不足．主要是本節課中沒有涉及的問題，本節課中理解有困難的問題．
1．已知是定義在R上的函式，設
（1）試判斷的奇偶性；（2）試判斷的關係；
（3）由此你猜想得出什麼樣的結論，並說明理由？
2．設函式，
（1）討論的奇偶性；（2）求的最小值．
3．已知集合，是否存在實數，同時滿足．
4．將長度為20 cm的鐵絲分成兩段，分別圍成一個正方形和一個圓，要使正方形與圓的面積之和最小，正方形的周長應為多少？
十二、教學反思
在複習課中，教師要充分調動學生學習的自主性，讓學生獨立制定出適合自己的知識結構、整理出自己在本章學習中出現的問題．在課堂上，學生透過交流與合作，體會解決問題成功的喜悅．從而養成良好的學習習慣、樹立信心．感受知識的橫向聯絡與縱向聯絡，洞悉知識的本質、問題的根源，從而形成深刻的印象，少出現或避免出現類似的問題．透過分析知識的來龍去脈，明確知識的用途．透過典型題分析，回顧主幹知識，重要的數學思想，感受知識與數學思想的有機融合．