數學建模椅子問題論文

數學建模椅子問題論文

數學建模椅子問題論文

椅子能在不平的地面上放穩

把椅子往不平的地面上一放，通常只有三隻腳著地，放不穩，然而只要稍挪動幾次，就可以四腳著地，放穩了。下面用數學語言證明。

一、 模型假設

對椅子和地面都要作一些必要的假設：

1、 椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸可視為一個點，四腳的連線呈正方形。

2、 地面高度是連續變化的，沿椅子的任何方向都不會出現間斷（沒有像臺階那樣的情況），即地面可視為數學上的連續曲面。

3、 對於椅腳的間距和椅子腳的.長度而言，地面是相對平坦的，使椅子在任何位置至少有三隻同時著地。

二、模型建立

中心問題是數學語言表示四隻同時著地的條件、結論。首先用變量表示椅子的位置，由於椅腳的連線呈正方形，以中心為對稱點，正方形繞中心的旋轉正好代表了椅子的位置的改變，於是可以用旋轉角度80這一變數來表示椅子的位置。

其次要把椅腳著地用數學符號表示出來，如果用某個變量表示椅腳與地面的豎直距離，當這個距離為0時，表示椅腳著地了。椅子要挪動位置說明這個距離是位置變數的函式。

由於正方形的中心對稱性，只要設兩個距離函式就行了，記A、C兩腳與地面距離之和為f，B、D兩腳與地面距離之和為g，顯然f、g0，由假設2知f、g都是連續函式，再由假設3知f、g至少有一個為0。當0時，不妨設g0,f0，這樣改變椅子的位置使四隻同時著地，就歸結為如下命題：

命題 已知f、g是的連續函式，對任意，f*g=0，且g00,f00，則存在0，使g0f00。

三、模型求解

將椅子旋轉900，對角線AC和BD互換，由g00,f00可知g20,f20。令hgf，則h00,h20，由f、g的連續性知h也是連續函式，由零點定理，則存在0002使h00，g0f0，由g0*f00，所以g0f00。

四、評 注

模型巧妙在於用已知的元變量表示椅子的位置，用的兩個函式表示椅子四腳與地面的距離。利用正方形的中心對稱性及旋轉900並不是本質的，同學們可以考慮四腳呈長方形的情形。