集合間的基本關係課後練習題
一、選擇題
1．對於集合A，B，“AB”不成立的含義是()
A．B是A的子集
B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一個元素不屬於B
D．B中至少有一個元素不屬於A
[答案] C
[解析] “AB”成立的含義是集合A中的任何一個元素都是B的元素．不成立的含義是A中至少有一個元素不屬於B，故選C.
2．若集合M＝{x|x＜6}，a＝35，則下列結論正確的是()
A．{a}?M B．a?M
C．{a}M D．aM
[答案] A
[解析] ∵a＝35＜36＝6，
即a＜6，a{x|x＜6}，
aM，{a}?M.
[點撥] 描述法表示集合時，大括號內的代表元素和豎線後的`制約條件中的代表形式與所運用的符號無關，如集合A＝{x|x＞1}＝B{y|y＞1}，但是集合M＝{x|y＝x2＋1，xR}和N＝{y|y＝x2＋1，xR}的意思就不一樣了，前者和後者有本質的區別．
3．下列四個集合中，是空集的是()
A．{0} B．{x|x＞8，且x＜5}
C．{xN|x2－1＝0} D．{x|x＞4}
[答案] B
[解析] 選項A、C、D都含有元素．而選項B無元素，故選B.
4．設集合A＝{x|x＝2k＋1，kZ}，B＝{x|x＝2k－1，kZ}，則集合A，B間的關係為()
A．A＝B B．A?B
C．B?A D．以上都不對
[答案] A
[解析] A、B中的元素顯然都是奇數，A、B都是有所有等數構成的集合．故A＝B.選A.
[探究] 若在此題的基礎上演變為kN.又如何呢？答案選B你知道嗎？
5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，aR}，若集合A有且只有2個子集，則a的取值是()
A．1 B．－1
C．0,1 D．－1,0,1
[答案] D
[解析] ∵集合A有且僅有2個子集，A僅有一個元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(aR)僅有一個根．
當a＝0時，方程化為2x＝0，
x＝0，此時A＝{0}，符合題意．
當a0時，＝22－4aa＝0，即a2＝1，a＝1.
此時A＝{－1}，或A＝{1}，符合題意．
a＝0或a＝1.
6．設集合P＝{x|y＝x2}，集合Q＝{(x，y)}y＝x2}，則P，Q的關係是()
A．PQ B．PQ
C．P＝Q D．以上都不對
[答案] D
[解析] 因為集合P、Q代表元素不同，集合P為數集，集合Q為點集，故選D.
二、填空題
7．已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝，則實數m的取值範圍是________．
[答案] m1
[解析] ∵M＝，2mm＋1，m1.
8．集合x，yy＝－x＋2，y＝12x＋2{(x，y)}y＝3x＋b}，則b＝________.
[答案] 2
[解析] 解方程組y＝－x＋2y＝12x＋2得x＝0y＝2
代入y＝3x＋b得b＝2.
9．設集合M＝{(x，y)}x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那麼M與P的關係為________．
[答案] M＝P
[解析] ∵xy＞0，x，y同號，又x＋y＜0，x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限內的點．而集合P表示第三象限內的點，故M＝P.
三、解答題
10．判斷下列表示是否正確：
(1)a{a}；
(2){a}{a，b}；
(3)?{－1,1}；
(4){0,1}＝{(0,1)}；
(5){x|x＝3n，nZ}＝{x|x＝6n，nZ}．
[解析] (1)錯誤．a是集合{a}的元素，應表示為a{a}．
(2)錯誤．集合{a}與{a，b}之間的關係應用“?()”表示．
(3)正確．空集是任何一個非空集合的真子集．
(4)錯誤．{0,1}是一個數集，含有兩個元素0,1，{(0,1)}是一個以有序實數對(0,1)為元素的集合，所以{0,1}{(0,1)}．
(5)錯誤．集合{x|x＝3n，nZ}中的元素表示所有能被3整除的數，或者說是3的倍數，而{x|x＝6n，nZ}中的元素表示所有能被6整除的數，即是6的倍數，因此應有{x|x＝6n，nZ}?{x|x＝3n，nZ}．
11．已知集合A＝{x|2a－2＜xa＋2}，B＝{x|－2x＜3}，且AB，求實數a的取值範圍．
[解析] 由已知AB.
(1)當A＝時，應有2a－2a＋24.
(2)當A時，由A＝{x|2a－2＜xa＋2}，B＝{x|－2x＜3}，
得2a－2＜a＋22a－2－2a＋2＜3a＜4a0a＜1.a＜1.
綜合(1)(2)知，所求實數a的取值範圍是{a|0a＜1，或a4}．
12．設S是非空集合，且滿足兩個條件：①S{1,2,3,4,5}；②若aS，則6－aS.那麼滿足條件的S有多少個？
[分析] 本題主要考查子集的有關問題，解決本題的關鍵是正確理解題意．非空集合S所滿足的第一個條件：S是集合{1,2,3,4,5}的任何一個子集，第二個條件：若aS，則6－aS，即a和6－a都是S中的元素，且它們允許的取值範圍都是1,2,3,4,5.
[解析] 用列舉法表示出符合題意的全部S：{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．共有7個．
[點評] 從本題可以看出，S中的元素在取值方面應滿足的條件是：1,5同時選，2,4同時選，3單獨選．